Zadania. Seria 1

1. Udowodnij, że dla nieprzywiedlnego łańcucha Markowa o wartościach w przeliczlnej przestrzeni stanów X jeśli U(x, x) < ∞ dla pewnego x ∈ X, to U(u, v) < ∞, dla dowolnych u, v ∈ X.

2. Pokaż, że w błądzeniu przypadkowym na półprostej, to znaczy P (0, 0) = p, P (i, i + 1) = q, P (i, i − 1) = p jeśli q > p to L(0, 0) < 1.

3. Niech T_{1}, T_{2}, T_{3}, ... będą niezależnymi czasami przybywania klientów z rozkładu wykładniczego

P(T_{i} > t) = exp(−λt), t ⩾ 0, gdzie λ > 0.

Onacza to, ze kilenci przybywają w chwilach T′_{i} = T_{1} + T_{2} + ... + T_{i}. Niech S_{1}, S_{2}, S_{3}, ... będą niezależymi czasami obsługi kolejnych kilentów (niezależnymi od (T_{i})_{i⩾1}) z rozkładu wykładniczego

P(S_{i} > t) = exp(−μt), t ⩾ 0., gdzie μ > 0.

Zauważmy, że w chwilach w których serwer jest pusty żaden kilent nie jest obsługiwany zatem S′_{i} = S_{1} + S_{2} + ... + S_{i} jest zwykle mniejsze niż rzeczywisty czas w którym i-ty klient będzie obsłużony. Niech N(t) oznacza liczbę kilentów w systemie w chwili t. Niech X_{i} = N(T_{i}−) oznacza liczbę klientów w systemie tuż przed chwilą T_{i} (przybyciem i-tego kilenta). Udowodnij, że X_{i} jest lańcuchem Markowa. Znajdź warunek na λ i μ, który gwarantuje, że istnieje rozkład stacjonarny. Jaki to rozklad?