Seria 9. Funkcjonały liniowe

1. Niech μ będzie skończoną miarą borelowską na [0, 1]. Wykaż, że funkcjonał dany wzorem φ(f) = ∫_{0}^{1} f(x)dμ(x) jest ciągły na C[0, 1] i policz jego normę.

2. Dla x ∈ [0, 1], niech δ_{x}(f) = f(x). Udowodnij, że (a) δ_{x} jest ciągłym liniowym funkcjonałem na C[0, 1] o normie 1.

(b) Jeśli (x_{n})_{n=1}^{N} jest skończonym ciągiem różnych punktów z [0, 1], to dla dowolnych liczb a_{n},

∥ ∑_{n=1}^{N} a_{n}δ_{x_{n}}∥_{C[0,1]^{∗}} = ∑_{n=1}^{N} |a_{n}|.

(c) Wykaż, że b) zachodzi dla N = ∞ przy założeniu ∑_{n} |a_{n}| < ∞.

3. Wykaż, że dla f ∈ L^{1}[0, 1] funkcjonał φ_{f} na C[0, 1] zadany wzorem φ_{f}(g) = ∫_{0}^{1} f(t)g(t)dt jest ciąły oraz ∥φ_{f}∥ = ∥f∥_{1}.

4. Załóżmy, że x = (x_{n})_{n⩾1} jest ciągiem takim, że dla każdego y ∈ l_{p} szereg ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny. Wykaż, że x ∈ l_{q} dla 1/p + 1/q = 1.

5. Wykaż, że szereg ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} jest zbieżny dla każdego ciągu y_{n} zbieżnego do zera wtedy i tylko wtedy gdy ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}| < ∞.

6. Załóżmy, że f_{n} ∈ L_{2}[0, 1] są takie, że lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(t)g(t)dt = 0 dla wszystkich funkcji g ∈ L_{2}[0, 1]. Wykaż, że sup_{n} ∥f_{n}∥_{2} < ∞. Czy musi zachodzić lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{2} = 0?