Seria 8. Funkcjonaly liniowe

1. Wykaż, że przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy ma przeliczalny podzbiór liniowo gęsty.

2. Wykaż, że jeśli X_{0} jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni unormowanej X oraz x ∈ X\X_{0} to istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} zerujący się na X_{0} taki, że φ(x) = 1.

3. Niech F będzie podprzestrzenią przestrzeni Banacha X. Wykaż, że dla dowolnego x ∈ X,

dist(x, F) − sup{|x^{∗}(x)| : x^{∗} ∈ X^{∗}, ∥x^{∗}∥ ⩽ 1, x^{∗}|F = 0}.

4. Wykaż, że osrodkowość przestrzeni X^{∗} implikuje ośrodkowość przestrzeni X. Czy odwrotna implikacja jest prawdziwa?

5. Niech A i B będą rozłącznymi niepustymi wypukłymi podzbiorami rzeczywistej przestrzeni Banacha X takimi, że A jest domknięty, a B jest zwarty. Wykaż, że istnieje funkcjonał φ ∈ X^{∗} taki, że sup x ∈ Aφ(x) < inf_{x∈B} φ(x).

6. Niech X będzie przestrzenią Bancha oraz x ∈ X będzie wektorem o normie 1. Udowodnij, że △(x) := {x^{∗} ∈ X^{∗} : x^{∗} = 1 = ∥x^{∗}∥} jest niepustym, domknietym zbiorem wypukłym.

7. Podaj przykłady x ∈ l_{1} takie, że △(x) jest jednopunktowe, n-wymiarowe, nieskończenie wymiarowe.

8. Opisz wszystkie x ∈ c_{0} takie, że △(x) jest jednopuntkowe.

9. Przestrzeń C[0, 1] mozna traktować jako domkniętą podprzestrzeń L_{∞}[0, 1] Funkcjonał δ_{x}(f) = f(x) jest ciągłym funkcjonałem o normie 1 na C[0, 1], zatem z twierdzenia Hahna-Banacha można go rozszerzyć do funkcjonału φ_{x} na L_{∞}[0, 1] o normie 1. Wykaż, że nie istnieje funkcja g ∈ L_{1}[0, 1] φ_{x}(f) = ∫_{0}^{1} f(s)g(s)ds. Udowodnij, że jeśli f ∈ L_{∞}[0, 1] jest taka, że f = 0 na zbiorze (x−ε, x+ε), to φ_{x}(f) = 0.

10. Jaka jest norma funkcjonału φ(f) = ∫_{0}^{1} e^{x}f(x)dx na L_{0}(0, 2), 1 ⩽ p ⩽ ∞?

11. Dla jakich p z przedziału [1, ∞] wzór φ(x) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−1/3}x_{n} zadaje ciągły funkjconał na l_{p}?