Seria 7. Transformata Fouriera

1. Udowodnij, że jeśli f ∈ L_{1} i f > 0, to |f̄(y)| < f̄(0) dla każdego y ≠ 0.

2. Oblicz transofrmatę Fouriera g_{n} - funkcji charakterystycznej przedziału [−n, n]. Wykaż, że transformata Fouriera g_{n} ∗ g_{1} jest transformatą pewnej funkcji f_{n} z L_{1}, która z dokładnością do stałej ma postać

f_{n}(x) = \frac{sin x sin nx}{x^{2}}.

Zauważ, że ∥f_{n}∥_{1} → ∞ i wywnioskuj stąd, że f → f̄ przekształca L_{1} na podzbiór właściwy C_{0}-funkcje ciągłe znikające w nieskońćzoności.

3. Oblicz granicę

lim_{t→∞} ∫_{−t}^{t} \frac{sin(tλ)}{t}e^{itx}dt.

4. Podać przyklad funkcji f ∈ L_{2} takiej, że f ∈ L_{1} ale f̄ ∈ L_{1}.

5. Pokaż, że jeśli dla f ∈ L_{1} mamy ∫ |tf̄(t)|dt < ∞, to funkcja f pokrywa się z funkcją różniczkowalną, której pochodna wynosi −i ∫_{−∞}^{∞} tf̄(t)e^{ixt}dt.

6. Zalóżmy, że f ∈ L_{1}, f-jest rózniczkowalna prawie wszędzie oraz f′ ∈ L_{1}. Czy wówczas f̄′ = −tif̄(t).

7. Niech S oznacza kalsę funkcji takich, że |x^{n}D^{m}f(x)| ⩽ A_{mn}(x) dla m, n = 0, 1, 2, .... Wykaż, że transforamata Fouriera przekstałaca zbiór S na siebie.

8. Pokaż, że jeśli f ∈ L_{p}, g ∈ L_{q} (p, q-sprzężone) i h = f ∗ g, to h jest funkcją jednostajnie ciągłą. Jeżeli 1 < p < ∞, to h ∈ C_{0} co może nie mieć miejsca dla p = 1.

9. Wykaż, że jeśli 1 ⩽ p < ∞, f ∈ L_{p} oraz

g(x) = ∫_{x}^{x+1} f(t)dt,

to g ∈ C_{0}. Co mozna powiedzieć o g jeśli f ∈ L_{∞}.

10. Udowodnij wzór sumacyjny Poissona

∑_{k=−∞}^{∞} f(kβ) = α ∑^{∞} φ(nα),

gdzie αβ = 2π, natomiast

φ(t) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−itx}dx.

11. Biorąc funkcję f(x) = e^{−|x|} w poprzedni zadaniu pokaż, że

\frac{e^{2πα} + 1}{e^{2πα} − 1} = \frac{1}{π} ∑_{−∞}^{∞} \frac{α}{α^{2} + n^{2}} .

12. Oblicz transformatę f_{c}(x) = exp(−cx^{2}).