Seria 6. Przestrzenie Hilberta

1. Wykaż, że każdą funkcję parzystą f w L^{2}[−π, π] da się przedstawić w postaci f(t) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} cos(nt), przy czym ciąg jest zbieżny w L^{2}. Ile wynosi ∑_{n=0}^{∞} a_{n}^{2}?

2. Jak wygląda odpowiednie rozwinięcie w szereg Fouriera dla funkcji nieparzystych?

3. Niech r_{k} := sgn(sin(2^{k}πx)), k = 1, 2, ... będzie układem Rademachera. Dla skończonych niepustych zbiorów A ⊂ {1, 2, ...} określamy w_{A} = ∏_{k∈A} r_{k} oraz kładziemy w_{∅} = 1. Wykaż, że (w_{A})_{A} jest bazą o.n. w L^{2}[0, 1].

4. Niech μ będzie miara skończoną na [0, 1], która nie jest skupiona na zbiorze skończonym. Wykaz, że istnieje baza ortonormalna (f_{n})_{n⩾0} przestrzeni L^{2}[0, 1], taka, że f_{n} jest wielomianem stopnia n.

5. Niech (f_{i}(x))_{i} i (g_{j}(y))_{j} będa ukladami ortonormalnymi w L^{2}(X, μ_{1}), i L^{2}(X, μ_{2}) odpowiednio. Wykaż, że

(a) układ (f_{i}(x)g_{j}(y))_{i,j} jest układem ortonormalnym w L^{2}(X × Y, μ_{1} ⊗ μ_{2}).

(b) Jeśli układy (f_{i})_{i}, (g_{j})_{j} są zupelne, to układ (f_{i}g_{j})_{i,j} tez jest zupełny.

6. Niech M będzie domkniętą podprzestrzenia przestrzeni Hilberta H. Wykaż, że (a) każda bazę o.n. M da się rozszerzyć na H.

(b) jeśli (u_{i})_{i∈I} jest bazą M, to rzut ortogonalny na M ma postac

P_{M}x = ∑_{i∈I}⟨x, u_{i}⟩u_{i}.

7. Wykaż, że przestrzeń L_{2}(ℝ^{n}) jest ośrodkowa i wywnioskuj stad ośrodkowość przestrzeni L_{2}(A) dla dowolnego zbioru borelowskiego A ⊂ ℝ^{n}. Czy przestrzenie L_{2}(A) i L_{2}(B) są izometryczne?

8. Dla jakich p przestrzenie l_{p} są ośrodkowe?

9. Wyznacz p dla których L_{p}[0, 1] jest ośrodkowa.

10. Czy przstrzeń C[0, 1] jest ośrodkowa? A przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych na (0, 1) z norma supremum?