Seria 5. Podprzestrzenie liniowe

1. Wykaż, że każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta.

2. Załóżmy, że G ⊂ F sa dwoma σ-ciałami podzbiorów X, a μ miarą na (X, F). Wykaż, że: (a) M = L_{2}(X, G, μ) jest domkniętą podprzestrzenią L_{2}(X, F, μ).

(b) ∫_{A} P_{M}fdμ = ∫_{A} fdμ dla dowolnego A ∫ G takiego, że μ(A) < ∞ oraz f ∈ L_{2}(X, F, μ).

(c) P_{M} jest nieujemny, P_{M}f ⩾ 0, μ-p.n., jeśli f ⩾ 0, μ-p.n.

3. Znajdź ortogonalizację ciągu wektorów 1, t, t^{2} w L^{2}[−1, 1].

4. Znajdź wielomian stopnia 2 taki, że ∫_{−1}^{1} |t^{4} − w(t)|^{2} jest najmniejsza.

5. Wykaż, że układ Rademachera f_{n} = sgn(sin(2^{n}πx)), n = 1, 2, ... jest układem ortogonalnym L^{2}[0, 1]. Czy jest to układ zupełny?

6. Niech P_{n} będzie układem wielomianów Legendre’a

P_{n}(t) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n}, t ∈ [−1, 1], n ⩾ 0.

(a) Wykaż, że P_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}[−1, 1]. Jak go trzeba znormalizować by był ortonormalny?

(b) Czy to jest układ zupełny?

7. Niech L_{n} będzie układem wielomianów Laguerre’a

L_{n}(t) = \frac{1}{n!}e^{t} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{n}e^{−t}), t ⩾ 0, n ⩾ 0.

(a) Wykaż, że L_{n} jest układem ortogonalnym w L^{2}(ℝ_{+}, e^{−t}dt). Czy jest to układ ortonormalny.

(b) Czy to jest układ zupełny.

8. Niech H_{n} będzie układem wielomianów Hermite’a

L_{n}(t) = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n!}} e^{t^{2}/2} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (e^{−t^{2}/2}), n ⩾ 0.

(a) Wykaż, że H_{n} jest układem ortonormalnym w L^{2}(ℝ, \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−t^{2}/2}dt).

(b) Czy to jest układ zupełny.