Seria 4. Przekształcenia liniowe

1. Zbadaj ciąglosć i oblicz normę przekształcenia T : L_{p}[0, 1] → L_{p}[0, 1] danego wzorem T f(x) = f(\sqrt{x}).

2. Na przestrzeni C^{k}[0, 1], k ⩾ 1 definiujemy normę max_{0⩽i⩽k} sup_{t∈[0,1]} |f^{(i)}(t)|. Udowodnij ciągłość i oblicz normę następujących funkcjonałów na C^{k}[0, 1]:

(a) φ(f) := ∫_{0}^{1/2} f(t)dt,

(b) φ(f) := f′(1/2),

(c) φ(f) = f(1) − f(0).

3. Niech M := {f ∈ C[0, 1] : ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią C[0, 1]: Niech g(t) = t, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥?

4. Niech M := {f ∈ L_{1}[0, 1] : ∫_{0}^{1} f(t)dt = 0}. Wykaż, że M jest domkniętą podprzestrzenią C[0, 1]: Niech g(t) ≡ 1, oblicz dist(g, M). Czy istnieje funkcja f ∈ M taka, że dist(g, M) = ∥f − g∥? Ile jest takich funkcji?

5. Niech M := {f ∈ L_{2}[−1, 1] : f(x) = f(−x)} ⊂ L_{2}[−1, 1]. Znajdź M^{⊥} i rzut ortogonalny na M.

6. Niech V_{n} będzie podprzestrzenią L_{2}[0, 1] składającą sie z funkcji stałych na [k/n, (k + 1)/n), k = 1, 2, ..., n.

(a) Znajdź V_{n}^{⊥}.

(b) Znajdź rzut ortogonalny f na V_{n}.

(c) Znajdź odleglość f(t) = t w L_{2}[0, 1] od V_{n}.

7. Wykaż, że norma ∥ · ∥ jest zadana przez iloczyn skalarny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek równoległoboku ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2} dla wszystkich x, y.