Seria 2. Przestrzenie Banacha

1. Wykaż, że każda kula w przestrzeni unormowanej jest wypukła.

2. Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte. Określmy p_{A}(x) := inf{t > 0 : x/t ∈ A}. Kiedy p_{A} jest normą na X?

3. Niech (X, ∥ · ∥) będzie przestrzenią, wykaż, że f(x) = ∥x∥ jest funkcją ciągłą na X.

4. Wykaż, że jeśli zbiór A jest wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej, to zbiory Ā, int(A) też są wypukłe.

5. Dla zbioru A w przestrzeni liniowej X określamy

conv(A) = ⋂{B : B wypukłe, A ⊂ B}.

Wykaż, że

(a) conv(A) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zwierającym A.

(b) conv(A) := {x = ∑_{j=1}^{n} λ_{j}a_{j} : a_{j} ∈ A, λ_{j} ⩾ 0, ∑_{j=1}^{n} λ_{j}, n = 1, 2, ...}

6. Niech φ : [0, ∞) → [0, ∞) będzie funkcją wypukłą taką, że φ(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

x = 0. Określamy

l_{φ} := {x = (x_{n})_{n=1}^{∞} : ∃t > 0, ∑_{n} φ(|x_{n}|/t) < ∞}.

oraz

∥x∥_{φ} := inf{t > 0 : ∑_{n} φ(|x_{n}|/t) ⩽ 1}, dla x ∈ l_{φ}.

Wykaż, że l_{φ} z normą ∥x∥_{φ} jest przestrzenią Banacha.

7. Niech x = (x_{k})_{n=1}^{∞} oraz 1 ⩽ p < q.

(a) ∥x∥_{q} ⩽ ∥x∥_{p} ⩽ n^{1/p−1/q}∥x∥_{q} dla 1 ⩽ p < q.

(b) lim_{p→∞} ∥x∥_{p} ⩽ ∥x∥_{∞}

(c) Czy stałe w pierwszym punkcie są optymalne

8. Niech x = (x_{k})_{k=1}^{∞} oraz 1 ⩽ p < q.

(a) ∥x∥_{q} ⩽ ∥x∥_{p} dla 1 ⩽ p < q.

(b) Znajdź wektor x taki, że ∥x∥_{p} = ∞ oraz ∥x∥_{q} < ∞.

(c) Czy zawsze lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞}?

9. Wykaż, że {x = (x_{k})_{k=1}^{∞} : ∑_{i=1}^{∞} |x_{i}| ⩽ 1} jest domkniętym wypuklym podzbiorem l_{2} o pustyn wnętrzu. Czy jest to zbiór zwarty?

10. Niech (X, B, μ) będzie przestrzenią z miara skończoną μ oraz f będzie funkcją mierzalną na X. Udowodnij, że dla 1 ⩽ p < q,

(a) ∥f∥_{p} ⩽ μ(X)^{1/p−1/q}∥f∥_{q}, w szczególności ∥f∥_{p} ⩽ ∥f∥_{q}, gdy μ(X) = 1. Kiedy zachodzi ronowść.

(b) Znajdź funkcję f ∈ L_{p}(0, 1) taką, że ∥f∥_{q} = ∞.

(c) Znajdź funkcję f ∈ L_{q}[0, ∞) taką, że ∥f∥_{p} = ∞.