Seria 10. Operatory Zwarte

1. Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha Xi Y. Wykaż, że T jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy y^{∗} ∈ Y^{∗}, y^{∗}(T) jest ciągłym funkcjonałem na X.

2. Niech X będzie przstrzenią Banacha. Wykaż, że przekształcenie liniowe T : X → C[0, 1] jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t ∈ [0, 1], x → T x(t) jest ciągłym funkcjonałem na X.

3. Niech Y i Z będą dwoma domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Banacha X takimi, że dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jedna para wektorów (y, z) = (P_{1}x, P_{2}x) ∈ Y × Z taka, że x = y + z. Wykaż, że P_{1} jest ciągłym rzutem X na Y.

4. Załóżmy, że X, Y i Z są przestrzeniami Bancha, zaś B : X → Z oraz C : Y → Z są ciągłymi operatorami liniowymi. Wykaż, że jeśli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y = Ax taki, że Bx = Cy, to A jest ciągłym operatorem z X w Y.

5. Niech (e_{n})_{n⩾0} będzie kanoniczną bazą w l_{p}. Wykaz, że operator liniowy T : l_{p} → l_{p} taki, że T e_{n} = a_{n}e_{n} jest zwarty wtedty i tylko wtedy gdy lim_{n→∞} a_{n} = 0.

6. Czy operator przesunięcia w prawo na l_{p} jest zwarty?

7. Niech T : L_{2}[0, 1] → L_{2}[0, 1] będzie dany wzorem T f(x) = ∫_{0}^{x} f(s)ds. Czy jest to operator zwarty?

8. Określmy T : L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) jako T f(x) = ∫_{x}^{x+1} f(y)dy. Wykaż, że T jest ciągły. Czy T jest zwarty?

9. Wykaż, że T ∈ B(X, Y) jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ε > 0, T B_{X} da się pokryć skończoną liczbą kul w Y o promieniu ε.

10. Wykaż, że operator T jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje przestrzeń Y_{ε} ⊂ Y taka, że dim Y_{ε} < ∞ oraz dist(T (B_{X}), Y_{ε}) ⩽ ε.

11. Wykaż, że jeśli X jest przestrzenią Banacha 1 ⩽ p < ∞ oraz T ∈ B(X, l_{p}) jest zwarty, to istnieje ciąg skończenie wymiarowych operatorów T_{n} taki, że ∥T_{n} − T ∥ → 0.