Seria 1. Przestrzenie Banacha

1. Które z poniższych przestrzeni są prestrzeniami unormowanymi (metryka zadana przez normę) (a) X = ℝ, d(x, y) = arc tg |x − y|;

(b) X = ℝ^{n}, d(x, y) = ∑_{i=1}^{3} |x_{i} − y_{i}| + max_{i⩾4} |x_{i} − y_{i}|;

(c) X = C[0, 1], d(f, g) = sup_{x∈[0,1]} |f(x) − f(y)|;

(d) X = C[0, 1], d(f, g) = |f(0) − g(0)|;

(e) X = C[0, 1], d(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(x) − g(x)|dx;

(f) X = C^{1}[0, 1], d(f, g) = |f(0) − g(0)| + sup_{x∈[0,1]} |f′(x) − g′(x)|.

2. Które z przestrzni z poprzedniego zadania są zupełne?

3. Naszkicuj kulę jednostkową w przestzeniach l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, l_{∞}^{2}, l_{1}^{3}, l_{2}^{3}, l_{∞}^{3}.

4. Dwie metryki d_{1}, d_{2} są rownoważne jeśli definiują te same topologie (czyli np. ciągi w obu metry-

kach mają te same granice). Wykaż, że jeśli istnieją stałe 0 < c < C < ∞

cd_{1}(x, y) ⩽ d_{2}(x, y) ⩽ Cd_{1}(x, y), dla każdego x, y ∈ X,  (1)

to metryki są równoważne.

5. Wskaż dwie rownoważne metryki, które nie spełniają (1).

6. Mówimy, że dwie normy są rownoważne, jeśli metryki przez nie wyznaczone są róznoważne. Wykaż, że normy ∥ · ∥_{1}, ∥ · ∥_{2} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe 0 < c < C < ∞ takie, że

c∥x∥_{1} ⩽ ∥x∥_{2} ⩽ C∥x∥_{1}.

dla wszystkich x ∈ X.

7. Wskaż dwie nierownoważne normy na przestrzeni ciągów ograniczonych.

8. Udowodnij że istnieje tylko jedna przestrzeń liniowo-topologiczna na ℝ^{n} to znaczy nie da się wprowadzić alternatywnej topologii liniowej.

9. Wykaż, że wszystkie normy w ℝ^{n} są rownoważne.

10. Czy istnieje przestzreń X i dwie nierownoważne normy wprowadzające na X strukturę przestrzeni Banacha.