Seria 5. Łańcuchy Markowa

1. Niech P będzie macierzą przejścia błądzenia przypadkowego na ℤ_{+}, takiego, że P (0, 0) = p oraz P (x, x − 1) = p, x > 0

P (x, x + 1) = q, x ⩾ 0,

gdzie p + q = 1. Pokaż, że jeśli p ⩾ q, to L(0, 0) = 1, czyli łańcuch jest powracający.

2. Niech X będzie nieredukowalnym błądzeniem przypadkowym na ℤ. Pokaż, że jeśli rozkład Γ zmiennych {W_{n}} ma średnią 0, to łańcuch jest powracający.

3. Pokaż, że jeśli A ∈ B(X) jest jednostajnie przechodni tak, że U(x, A) ⩽ M dla x ∈ A, to U(x, A) ⩽ 1 + M dla każdego x ∈ X.

4. Jeśli zbiór A ∈ B(X) spełnia L(x, A) = 1 dla każdego x ∈ A, to A jest powracający. Jeśli dodatkowo X jest ψ-nieredukowalny, to A ∈ B_{+}(X) oraz U(x, A) = ∞ dla każdego x ∈ X.

5. Jeśli zbiór A ∈ B(X) spełnia L(x, A) ⩽ ε < 1 dla x ∈ A, to U(x, A) ⩽ (1 − ε)^{−1} dla x ∈ X, zatem A jest jednostajnie przechodni.

6. Niech τ_{A}(k) oznacza k-ty powrót do A. Przypuśćmy, że dla pewnego m

P_{x}(τ_{A}(m) < ∞) ⩽ ε < 1, x ∈ A;

wówczas U(x, A) ⩽ 1 + m/(1 − ε) dla x ∈ X.

7. Pokaż, że jeśli B ↦^{a} A dla pewnego rozkładu a, wtedy z faktu, że A jest jednostajnie przechodni wynika, że B również ma tą własność.

8. Pokaż, że jeśli D^{c} jest zbiorem pochłaniającym oraz L(x, D^{c}) > 0, dla wszystkich x ∈ D, to D jest przechodni.

9. Pokaż korzystając z warunku dryfu, ze jeśli rozkład Γ w błądzeniu na ℤ_{+} ma ograniczony nośnik to łańcuh jest powracający.

10. Pokaż, że jeśli średnia w rozkladzie Γ o skończonym nośniku jest różna od zera to łańcuh jest przechodni.

11. Pokaż, że w błądzeniu na Z_{+} przy rozkladzie Γ o kończonym nośniku łańcuch jest powracający wtedy i tylko wtedy gdy średnia jest niedodatnia.

12. Pokaż, że jeśli w błądzeniu na ℝ_{+} średnia w rozkładzie Γ jest ujemna, wtedy łańcuch jest powracający.

13. Pokaż, że jeśli w błądzeniu na ℝ_{+} średnia w rozkładzie Γ jest równa 0, a warinacja jest skończoną liczbą dodatnią, wtedy łańcuh jest powracający.

14. Pokaż, że jeśli w błądzeniu na ℝ_{+} średnia w rozkładzie Γ jest dodatnia, a nośnik ograniczony, wtedy łańcuh jest przechodni.