Seria 4. Łańcuchy Markowa

1. Pokaż, że dla rekurencji generowanej przez rozkład odnowienia p(n), n = 1, 2, ... okresem łańcucha jest d = NWD{n : p(n) > 0}. Nadto jeśli w przypadku ciąglym jeśli F jest rozciągający to δ-szkielet V_{δ}^{+} jest nieokresowy dla dostatecznie małego δ.

2. Niech X = {X_{n}} będzie zadany przez X_{k} = F (X_{k−1}, W_{k}), gdzie F jest gładką funkcją F : X ×ℝ^{p} → X, natomiast X stanowi otwarty podzbiór ℝ^{n}. Nadto W = {W_{k}} jest ciągiem i.i.d. o rozkładzie Γ. Pokaż, że X jest słabo Fellerowski.

3. Błądzenie przypadkowe jest zawsze słabo Fellerowskie. Dodatkowo jest mocno Fellerowskie wtedy i tylko wtedy gdy Γ jest absolutnie ciągłe wg. miary Lebesgue’a.

4. Pokaż, że bładzenie przypadkowe na półprostej jest ψ-nierdukowlnym T -łańcuchem jeśli Γ(−∞, 0) > 0.

5. Pokaż, że błądzenie przypadkowe jest T -łańcuchem wtedy i tylko wtedy gdy Γ jest rozciagające.

6. Powiemy, że model LCM(F,G): x_{k+1} = F x_{k} + Gu_{k+1}, F - macierz n × n, G maceirz n × p jest kontrolowalny jeśli dla każdej pary stanów x_{0}, x^{∗} ∈ X, istnieje m ∈ ℤ_{+} oraz ciąg zmiennych (u_{1}^{∗}, ..., u_{m}^{∗}) ∈ ℝ^{p} takich, że x_{m} = x^{∗}, kiedy (u_{1}, ..., u_{m}) = (u_{1}^{∗}, ..., u_{m}^{∗}) (przy warunku poczatkowym x_{0}). Pokaz, że LCM(F,G) jest kontrolowalny jesli para (F, G) spelnia warunek, że macierz

C_{n} := [F^{n−1}G|...|F G|G],

ma rangę n.

7. Pokaż, że jeśli LCM(F,G) na ℝ^{n} spełnia warunke kontolowalności oraz Γ jest niesingularny względem miary Lebsegue’a to n-szkielet tego procesu jest T -łańcuchem.

8. Model (SETAR). Niech

X_{n} = ϕ(j) + θ(j)X_{n−1} + W_{n}(j) dla X_{n−1} ∈ R_{j},

gdzie −∞ = r_{0} < r_{1} < ... < r_{M} = ∞, a R_{j} = (r_{j−1}, r_{j}], nadto dla każdego j zmienne {W_{n}(j)} stanowią ciąg i.i.d. o średniej 0 (i rozkladzie W (j)) taki, że {W_{n}(i)} są niezalezne dla i ≠ j. Bedziemy zakładać, że zmienne W (j) mają gęstość dodatnia na całej prostej rzeczywsitej. Pokaż, że taki model (SETAR) jest φ-nieredukowalnym T -łańcuchem, gdzie za φ można przyjąć miare Lebesgue’a na ℝ.

9. Model (SLM). Proces X nazywamy prostym modelem liniowym jeśli

X_{n+1} = αX_{n} + W_{n+1}, α ∈ ℝ.

Zmienne W = {W_{n}} mają rozkład Γ. Pokaż, że (SLM) jest e-łańcuchem jesli |α| ⩽ 1.

10. (Dla ambitnych) Pokaż, że łańcuch X_{n+1} = \sqrt{X_{n}}W_{n+1}, n ∈ Z_{+}, gdzie W = \{W_{n}\} jest określony na ℝ_{+} a rozkład Γ posiada pierwszy moment nie jest e-łańcuchem mimo, że jest Fellerowski.