Seria 3. Łańcuchy Markowa

1. Udowdnij, że jeśli Γ(−∞, 0) > 0, to każdy zbiór [0, c], c ∈ ℝ_{+} jest mały.

2. Będziemy mówić, że rozkład Γ ma własność rozciągania jeśli pewien splot Γ^{n∗} jest niesingularny wzgledem miary Lebesgue’a μ. Pokaż, że jeśli błądzenie przypadkowe ma własność rozciągania wtedy istnieje otoczenie C_{β} = {x : |x| ⩽ β} punktu 0, ktore jest ν_{2n}-small, where ν_{2n} = εμ1_{[s,t]} for some interval [s, t], and some ε > 0.

3. (Dla ambitnych) Udowdnij, że jeśli dodatkowo założymy, że Γ(−∞, 0) > 0 oraz Γ(0, ∞) > 0 wtedy X (błądzenie przypadkowe) jest μ-nieredukowalne i każdy zbiór zwarty jest mały.

4. Kolejka GI/G/I. Definujemy łańcuch {X_{n}} na ℤ_{+} × ℝ z p-stwami przejścia

P (i, x; j × A) = 0, j > i + 1
P (i, x; j × A) = Λ_{i−j+1}(x, A), j = 1, ..., i + 1
P (i, x; 0 × A) = Λ_{i}^{∗}(x, A),

gdzie Λ_{i} są substochastycznymi funkcjami pstwami przejścia. Przykładem tej konstruckji może być X_{n} = (N_{n}, R_{n}), gdzie R_{n} jest resztkowym czasem obslugi w chwili T′_{n}+. Niech Z_{n} = S_{0} + ... + S_{n}, (gdzie S_{i} ∼ H) R_{t} = Z_{N(t)+1} − t, gdzie N(t) = sup{n : Z_{n} ⩽ t}. Jeśli R_{0} = x to Z_{1} = x, niech

P_{n}^{t}(x, y) = P (Z_{n} ⩽ t < Z_{n+1}, R_{t} ⩽ y|R_{0} = x)

pstwo że proces odnowienia n-czasow obsługi zakończy się w czasie [0, t] oraz że czas resztkowy aktualnej obsługi w chwili t jest w przedziale [0, y], zakładając, że R_{0} = x. Pokaż, że

Λ_{n}(x, [0, y]) = ∫_{0}^{∞} P_{n}^{t}(x, y)G(dt)

oraz

Λ_{n}^{∗}(x, [0, y]) = ( ∑_{j=n+1}^{∞} Λ_{j}(x, [0, ∞]))H[0, y].

5. Pokaż, że dla łańcucha X z poprzedniego punktu {0 × [0, β]} zbiór {0 × [0, β]} jest ν_{1}-maly, gdzie ν_{1}(·) jest dane przez G(β, ∞)H(·).

6. Rekurencja ’naprzód’. Niech V_{δ}^{+} = V^{+}(nδ), n ∈ ℤ_{+}, gdzie V^{+}(t) := inf{Z_{n} − t : Z_{n} ⩾ t}, Z_{n} − ∑_{i=0}^{n} Y_{i}, Y_{1}, Y_{2}, ... mają ten sam rozkład Γ, Y_{0} niezależne od pozostałych Γ_{0}. Pokaż, że jeśli rozkład Γ jest rozciągający, to dla dostatecznie małego δ odcinek [0, δ] jest małym zbiorem.

7. Definiujemy lniowy model Gaussowski. Niech

X_{k+1} = F X_{k} + GW_{k+1},

gdzie F jest n × n macierzą, a G jest n × p macierzą; X_{k} ma wartości w ℝ^{n}, W_{k} w ℝ^{p}; X_{0} jest dowolne. Nadto zakładamy, że W ∼ N (0, I), gdzie I jest p×p macierza identycznowściową. Pokaż, że jeśli macierz G jest pełnej rangi p, wtedy łańcuch jest μ-(Lebesgue’a) nierdukowalny. Pokaż, że pewna kula otwarta jest małym zbiorem dla tego łańcucha.

Do domu zadanie 4,5 oraz zadanie z wykładu o istnieniu p^{n}(x, y)-regularnej pochodnej miary P^{n}(x, dy) wg ψ(dy) poza zbiorem y ∈ N, ψ-miary 0, tzn. zbiór N jest wspólny dla wszystkich gęstości p^{n}(x, y).