Zadania przygotowawcze z RP2.

Zad 1. Niech X_{1}, X_{2}, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Cauchy’ego z parametrem a > 0 to znaczy mającym gęstość

g(x) = \frac{a}{π(x^{2} + a^{2})}.

Udowodnij, że ciąg zmiennych

Y_{n} := \frac{1}{n} max_{1⩽i⩽n} X_{i}

jest zbieżny do zmiennej 1/Z, gdzie Z ma rozkład wykładniczy z pewnym parametrem. Zad 2. Korzystając z CLT wyznaczyć granicę

e^{−n}(1 + \frac{n}{1!} + ... + \frac{n^{n}}{n!} )

Zad 3. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(−1, 1). Rozstrzygnąć czy istnieje zmienna losowa Y niezależna od X taka, że X + Y i 2Y mają takie same rozkłady. Zad 4. Niech F_{n} będzie filtracją , zaś X_{n} ciągiem zmiennych adaptowalnych do tej filtracji. Rozstrzygnąć, które z poniższych zmiennych są momentami zatrzymani’:

1. τ_{1} := inf{n : X_{n} < 0};

2. τ_{2} := inf{n : X_{1} + X_{2} + ... + X_{n} ⩾ 1};

3. τ_{3} := inf{n : X_{n} > X_{n−1}};

4. τ_{4} := inf{n : X_{n} = X_{n+1}}.

Zad 5. Student X jeden z piętnastu zdających egzamin, zna odpowiedzi na 10 pytań z 30, które są wylosowywane prze kolejno zdających studentów i które nie są powtórnie używane. Student X wie jakie pytania są zostały juz wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (w którym momencie wejść na egzamin) Zad 6. Rzucamy kostką tak długo aż pojawi się 16 lub 66. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg 16 pojawi się przed 66? Jaka jest średnia długość czasu trwanie zabawy (liczba rzutów)?