Zadania z RP2. Seria 9. Momenty zatrzymania.

Zad 1. Niech τ będzie momentem zatrzymania. Czy wynika stąd, że momentem zatrzymania jest a) τ + 1, b) τ − 1, c) τ^{2}? Zad 2. Udowodnić, że τ ≡ s jest momentem zatrzymania względem dowolnej filtracji. Zad 3. Niech τ_{1}, τ_{2} będą momentami zatrzymania. Udowodnić, że τ_{1} ∧ τ_{2}, τ_{1} ∨ τ_{2} są momentami zatrzymania. Zad 4. Niech (X_{i}) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U[0, 1]. Niech τ = inf{n : X_{1} + ... + X_{n} ⩾ 1}. Wyznaczyć Eτ. Zad 5. Udowodnić, że F_{τ} jest σ-ciałem; jeśli τ = t, to F_{τ} = F_{t}. Zad 6. Wykazać, że A ∈ F_{τ} wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈ F i dla każdego t ∈ T mamy {τ = t}∩A ∈ F_{t}. Niech τ i σ będą momentami zatrzymania. Wykazać, że każde

{τ < σ}, {τ > σ}, {τ ⩽ σ}, {τ ⩾ σ}, {τ = σ}.

należy jednocześnie do F_{τ} , F_{σ}. Zad 7. Udowodnić, że jeśli τ_{1} ⩽ τ_{2}, to F_{τ_{1}} ⊂ F_{τ_{2}}. Zad 8. Podać przykład na to, że F_{τ} ≠ σ(τ). Zad 9. Niech (X_{n}) będzie ciągiem zmiennych Bernouliego, τ = inf{n : S_{n} = 1}. Pokaż, że Eτ = ∞. Zad 10. Rzucamy kostką tak długo aż wyrzucimy wszystkie oczka. Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek.