Zadania z RP2. Seria 8. Centralne Twierdzenie Graniczne.

Zad 1. Niech X będzie zmienną losową spełniającą warunki:

1. EX^{2} < ∞.

2. Jeśli Y i Z są niezależnymi kopiami X, to X ∼ \frac{Y +Z}{\sqrt{2}} .

Wykazać, że X ma rozkład N (0, σ^{2}). Zad 2. Udowodnić, że jeśli zmienne losowe X_{n} n = 1, 2, ... są niezależne o jednakowym rozkładzie, EX_{n} = 0, EX_{n}^{2} = σ^{2}, f-jest funkcją różniczkowalną w zerze, to

\sqrt{n}(f(Y_{n}) − f(0)) →^{d} N (0, σf′(0)^{2}),

gdzie Y_{n} = \frac{1}{n}(X_{1} + ... + X_{n}).

Zad 3. Zmienne X_{1}, X_{2}, ... są niezależne i P(X_{k} = k) = P(X = −k) = \frac{1}{2}. Niech s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} D^{2}X_{k}. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

\frac{X_{1} + ... + X_{n}}{s_{n}} .

Zad 4. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, ... są niezależne i mają rozkłady U(−a_{k}, a_{k}). Niech s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} D^{2}X_{k}. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

\frac{X_{1} + ... + X_{n}}{s_{n}} ,

jeśli (a) ciąg (a_{k}) jest ograniczony i s_{n} → ∞; (b) jeśli ∑ a_{k}^{2} < ∞. Zad 5. Zmienne losowe X_{1}, X_{2}, ... są niezależne i symetryczne,

P(X_{k} = 1) = P(X_{k} = −1) = \frac{1}{2}(1 − k^{−2}), P(X_{k} = k) = P(X_{k} = −k) = \frac{1}{2}k^{−2}.

Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu (S_{n}/\sqrt{n}), gdzie S_{n} = X_{1} + ... + X_{n}. Co można powiedzieć o wariancjach zmiennych losowych S_{n}/\sqrt{n}. Zad 6. Zmienna X_{λ} ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zbadać zbieżność według rozkładu zmiennych (X_{λ} − λ)/\sqrt{λ}, gdy λ → ∞. Zad 7. Zmienna losowa X_{n} ma rozkład χ^{2}(n). Wykazać, że \frac{X_{n}−n}{\sqrt{2n}} →^{d} N (0, 1). Zad 8. Niech S_{n} = X_{1} + ... + X_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 1. Rozpatrując zmienną (\frac{S_{n}−n}{\sqrt{n}})_{−} Udowodnić wzór Stirlinga.