Zadania z RP2. Seria 7. Centralne Twierdzenie Graniczne.

Zad 1. Sprawdź, że jeśli X, X_{1}, X_{2}, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie EX = 0, D^{2}X = 1 i X_{n,k} = X_{k}/\sqrt{n}, to schemat serii (X_{n,k}) spełnia warunek Lindenberga. Zad 2. Udowodnić, że warunek Lapunowa: dla wszystkich n, k ∈ ℕ i dla pewnego δ > 0 zachodzi E|X_{n,k}|^{2+δ} < ∞ oraz

lim_{n→∞} \frac{1}{s_{n}^{2+δ}} ∑_{k=1}^{n} E|X_{n,k} − EX_{n,k}|^{2+δ} = 0,

pociąga za sobą warunek Lindenberga. Zad 3. Udowodnić, że gdy X_{1}, X_{2}, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że |X_{n}| ⩽ K < ∞, n = 1, 2, ... oraz s_{n}^{2} = ∑_{k=1}^{n} D^{2}X_{n} → ∞, to ciąg (X_{n}) spełnia warunek Lindenberga (to znaczy, że warunek L. jest spełniony dla schematu serii (X_{n,k}), gdzie X_{n,k} = X_{k}, dla k ⩽ n). Zad 4. Jacek założył się z Plackiem, że w 100 rzutach kostką uzyska w sumie nie mniej niż 400 oczek i w tym celu rozpoczął losowanie. Ile rzutów po 100 serii musi średnio wykonać, żeby doczekać się takiego wyniku? Zad 5. Na poczcie pojawia się 100 kilentów dziennie, każdy z nich dokonuje wpłaty (lub wypłaty) X_{i} i = 1, 2, ..., 100, gdzie X_{i} są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie zerowej średniej i średniej wariancji równej 100^{2}. Ile gotówki trzeba mieć w kasie rano, żeby z p-stwem 0.99 na koniec dnia nie zabrakło pieniędzy. Zakładamy, że w ciągu dnia naczelnik dokłada pieniądze ze swojej kieszeni, ale na koniec dnia chce odzyskać pieniądze. Zad 6. Rzucono 1000 razy kostką. Znaleźć przybliżenie p-stwa, że suma oczek będzie pomiędzy 3410 a 3590. Zad 7. Dane są niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie X, X_{1}, X_{2}, ... i EX = 0, 0 < σ^{2} = D^{2}X < ∞. Wyznaczyć w zależności od a, α ∈ ℝ

lim_{n→∞} P(\frac{|X_{1} + ... + X_{n}|}{n^{α}} > a).

Zad 8. W Polsce jest 24.6 mln podatników i każdy z nich myli się przy wypełnianiu zenzania podatkowego. Wartość błędu dla i-tego podatnika jest zmienną losową X_{i}, gdzie EX_{i} = 0, D^{2}X_{i} = 100^{2}, czyli \sqrt{D^{2}X_{i}} = 100 (złotych); Ponadto zakładamy niezależność zmiennych X_{i}. Jaka jest szansa, że straty państwa w wyniku tych błędów przekroczą 1 grosz na podatnika? A 3 grosze?