Zadania z RP2. Seria 6. Funkcje charakterystyczne.

Zad 1. Niech S^{1} będzie okręgiem (np. |z| = 1). Pokaż, że miara \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n−1} δ_{z^{n}}, gdzie z jest liczbą zespoloną o module 1 taką, że z^{n} ≠ 1 dla żadnego n > 0, zbiega do rozkładu jednostajnego na okęgu. Zad 2. (Twierdzenie Riemana-Lebesgue’a.) Udowodnić, że gdy X jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym to φ_{x}(t) → 0, gdy t → ∞. Zad 3. Pokaż, że splot dwóch rozkładów singularnych może być rozkłdem ciągłym. To znaczy znaleźć dwie zmienne X, Y o rozkładach singularnych takie, że X + Y ma rozkład ciągły. Wskazówka Zauważ, że

\frac{sin(t)}{t} = (∏_{i=1}^{∞} cos(2^{−2n+1}t))(∏_{i=1}^{∞} cos(2^{−2n}t))

Zad 4. Znajdź funkcje charakterystyczną taką, że Reφ = |φ|^{2}. Zad 5. (Twierdzenie Sheppa) Udowodnij, że jeśli X, Y są niezależne, to E|X + Y | ⩾ E|X − Y |. Zad 6. Pokaż, że zmienne X_{1}, ..., X_{n} są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy

φ_{X_{1},...,X_{n}}(t_{1}, ...., t_{n}) = φ_{X_{1}}(t_{1})...φ_{X_{n}}(t_{n}).

Zad 7. Podaj przykład wektora (X, Y) takiego, że X, Y są zależne ale mimo, to φ_{X+Y} = φ_{X}φ_{Y}. Wskazówka Np. rozkład o gęstości

g(x, y) + \frac{1}{4}(1 + xy(x^{2} − y^{2}))1_{\{|x|<1\}}1_{\{|y|<1\}}.

Zad 8. Niech X, X_{1}, X_{2}, ... będą zmiennymi o wartościach w ℝ^{d}. Udowodnij, że X_{n} →^{D} X wtedy i tylko wtedy, gdy ⟨t, X_{n}⟩ →^{D} ⟨t, X⟩, dla każdeo t ∈ ℝ^{d}. Zad 9. Pokaż, że zachodzi wzór na tarnsformatę odwrotną. To znaczy jeśli rozkład μ ma całkowalną funkcję charakterystyczną, to ma także ograniczoną gęstość taką, że

f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−isx}φ(s)ds.

Użyj tego faktu do policzenia transformaty rozkładu Cauchy’ego \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} .