Zadania z RP2. Seria 4. Funkcje charakterystyczne.

Zad 1. Policz funkcje charakterystyczne rozkładów:

1. Jednopunktowego δ_{a};

2. Dwupunktowego pδ_{a} + qδ_{b}, p + q = 1, p, q ⩾ 0;

3. Geometrycznego;

4. Bernouliego (B(n, p));

5. Poissona (P(λ)). Zad 2. Zmienne losowe X, Y, U, V są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Obliczyć funkcje charakterystyczne zmiennych losowych a) XY, b) X^{2}, c) X/Y, d) \frac{1}{2}(X^{2} − Y^{2}), e) XY + UV. Zad 3. Udowodnić, że dla funkcji charakterystycznej φ rozkładu μ następujące warunki są równoważne

1. φ(s) = 1, dla pewnego s ≠ 0;

2. φ ma okres s;

3. rozkład μ jest skupiony na zbiorze punktów postaci 2πk/s ∈ ℤ. Zad 4. Udowodnić, że zachodzi jedna z trzech możliwości:

1. |φ(t)| < 1 dla wszystkich t ≠ 0;

2. |φ(s)| = 1 i |φ(t)| < 1 dla wszystkich t ∈ (0, s). Wtedy |φ| ma okres s i rozkład μ jest skupiony na zbiorze punktów postaci b + 2πk/s, k ∈ ℤ.

3. |φ(t)| = 1 dla wszystkich t ∈ ℝ. Wtedy φ(t) = e^{itb} i μ jest skupiony w punkcie b. Zad 5. Policz funkcje charakterystyczne rozkładów

1. Rozkładu normalnego N (0, 1);

2. Jednostajny U(0, a);

3. Jednostajny U(−a, a);

4. Wykładniczy E(λ);

5. Dwustronny wykładniczy;

6. Cauchy’ego;

7. Gamma;

8. Cosinus hiperboliczny.

Zad 6. Zbadać, czy następujące funkcje są funkcjami charakterystycznymi pewnego rozkładu (znaleźć ten rozkład). a) cos t, b) cos^{2} t, c) \frac{1}{4}(1 + e^{it})^{2}, d) \frac{1+cos(t)}{2} e) (2 − e^{it})^{−1} Zad 7. Jeśli φ_{1}, φ_{2}, ... są pewnymi funkcjami charakterystycznymi, a ∑ p_{i} = 1, p_{i} > 0, i = 1, 2..., to również to również kombinacja ∑ p_{i}φ_{i} jest funkcją charakterystyczną. Zad 8. Zmienne X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} są niezależne i mają tę samą funkcję charakterystyczną φ. Niech N będzie zmienna losową o rozkładzie Poissona, niezależną od X_{i}. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną X_{1} + ... + X_{N}. Zad 9. Wiadomo, że φ jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie μ. Czy funkcjami charakterystycznymi są: a) φ^{2}, b) Reφ, c) |φ|^{2}, d) |φ|. Zad 10. Udowodnić, że jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X ma drugą pochodną w zerze, to EX^{2} < ∞.