Zadania z RP2. Seria 3. Zbieżność rozkładów.

Zad 1. Niech μ_{n} będzie ciągiem rozkładów Bernouliego o parametrach (n, p_{n}), taki, że np_{n} → λ. Pokaż, że μ_{n} → μ, gdzie μ ma rozkład Poissona z parametrem λ. Zad 2. Pokaż następujące własności zbieżności rozkładów

1. jeśli X_{n} →^{D} X, Y_{n} →^{D} c to X_{n} + Y_{n} →^{D} X + c.

2. jeśli X_{n} →^{D} X, Y_{n} →^{D} Y to niekoniecznie X_{n} + Y_{n} →^{D} X + Y.

3. jeśli X_{n} →^{D} X, Y_{n} →^{D} a to X_{n}Y_{n} →^{D} aX.

Zad 3. Pokaż, że jeśli X_{n}Y_{n} →^{D} X, Y_{n} →^{D} 0, f jest funkcją różniczkowalną w zerze, to X_{n}(f(Y_{n})−f(0)) →^{D} f′(0)X. Zad 4. Pokaż przykład ciągu zmiennych losowych, określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej Ω zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa. Zad 5. Podaj przykład

1. ciągu dystrybuant, który jest punktowo zbieżny, ale odpowiednie gęstości nie są zbieżne.

2. ciągu dystrybuant, który jest punktowo zbieżny, ale odpowiednie momenty nie są zbieżne.

Zad 6. Niech X_{1}, X_{2}, .. będą zmiennymi niezależnymi o tym samym rozkładzie. Oznaczmy S_{n} = X_{1} + ... + X_{n}. Jeśli a_{n}^{−1}S_{n} − b_{n} ma rozkład graniczny skupiony w jednym punkcie oraz a_{n} > 0, to a_{n} → ∞ oraz \frac{a_{n}}{a_{n−1}} → 1. Zad 7. Niech μ_{1}, μ_{2}, ... będą miarami skupionymi na ℕ. Pokaż, że

μ_{n} →^{D} μ ⇔ μ_{n}({k}) → μ({k}),

dla każdego k ∈ ℕ. Zad 8. Niech μ_{1}, μ_{2}, ... będą miarami probabilistycznymi skupionymi na zbiorze przeliczalnym S ⊂ E. Udowodnić, że

1. jeśli dla każdego x ∈ S μ_{n}({x}) → μ({x}), to μ_{n} →^{D} μ.

2. jeśli każdy punkt S jest izolowany to μ_{n} → μ implikuje μ_{n}({x}) → μ({x}) dla x ∈ S.

3. punkt drugi nie jest prawdziwy bez założenia o braku punktów izolowanych.

Zad 9. Niech P_{α} = N (m_{α}, σ_{α}^{2}). Udowodnij, że rodzina {P_{α} : α ∈ I} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje K > 0, że dla wszystkich α ∈ I jest |m_{α}| ⩽ K, σ_{α}^{2} < K. Zad 10. Owad i mrówki. Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem λ. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości) itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby ocalałych jaj.