Zadania z RP2. Seria 2. Gęstość warunkowa.

Zad 1. Niech Y będzie zmienną o rozkładzie U[0, 1] - jednostajnym na odcinku [0, 1]. Jeśli Y = x, to rzucamy n razy monetą, której szansa wypadnięcia orła wynosi x. Niech S_{n} oznacza liczbę wyrzuconych orłów. Znajdź prawdopodobieństwo P(S_{n} = k), k = 0, 1, 2, ..., n. Zad 2. Niech zmienna (X, Y) ma rozkład o gęstości f(x, y) = 8xy1_{{x>0,y>0,x^{2}+y^{2}<1}}(x, y). Znajdź E(Y |X = \frac{1}{2}). Zad 3. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na U[0, 1]. Niech ponadto U = min(X, Y), V = max(X, Y). Znaleźć: a) E(U|V), b) E(V |U), c) E(sin(UV)|U). Zad 4. Przypuśćmy, że gra polega na rzucie monetą. Kapitał początkowy wynosi 1. Jeśli na monecie wypadnie 1 to nasz kapitał podwaja się, jeśli zero - tracimy wszystko. Jaka jest optymalna strategia w tej grze? (Strategią nazywamy moment wyjścia z gry τ ∈ ℕ, decyzję podejmujemy w oparciu o dotychczasowe wyniki gry, to znaczy nie znamy przyszłości).