Zadania z RP2. Seria 11. Martyngały.

Zad 1. Niech U_{n} będzie ciągiem Bernoulliego. Niech F_{n} = σ(U_{1}, U_{2}, ..., U_{n}) i niech

Z_{n} = e^{a(U_{1}+...+U_{n})−(na^{2}/2)}

Udowodnić, że Z_{n} jest nadmartyngałem. Zbadać zbieżność ciągu Z_{n} p.n. i w L^{1}. Zad 2. Korzystając z twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów, wykazać, że jeśli ciąg zmiennych niezależnych spełnia warunki: EX_{n} = 0 oraz ∑_{n=1}^{∞} EX_{n}^{2} < ∞, to szereg ∑_{0}^{∞} X_{n} jest zbieżny p.n. Zad 3. Udowodnić, że dla podmartyngału (X_{k})_{k=1}^{n} i dowolnego r > 0 zachodzi nierówność

rP(min_{k⩽n} X_{k} ⩽ −r) ⩽ E(X_{n}1_{min_{k⩽n} X_{k}>−r}) − EX_{0} ⩽ EX_{n}^{+} − EX_{0}.

Zad 4. Udowodnić, że dla podmartyngału (X_{k})_{k=1}^{n} i dowolnego r > 0 zachodzi nierówność

rP(max_{k⩽n} |X_{k}| ⩾ r) ⩽ 3 max_{k⩽n} E|X_{k}|

Zad 5. Wykazać, że dla nadmartyngału (X_{k})_{k=1}^{n} zachodzi nierowność

P(max_{k⩽n} |X_{k}| ⩾ r) ⩽ \frac{K}{r} max_{k⩽n} E|X_{k}|.

Zad 6. (Nierówność Dooba) Wykazać, że jeśli (X_{k})_{k=1}^{n} jest martyngałem, p > 1, to

E sup_{k⩽n} |X_{k}|^{p} ⩽ (\frac{p}{p − 1})^{p}E|X_{n}|^{p}.

Zad 7. Niech Ω = [0, 1], F = B([0, 1]), P jest miarą Lebesgue’a, a f jest funkcją Borolowską całkowalną wg. miary Lebesgue’a. Rozważmy zstępujący ciąg podziałów odcinka [0, 1], (x_{j}^{n})_{j=1}^{k_{n}}, x_{1}^{n} = 0, x_{k_{n}}^{n} = 1. Udowodnić, że

X_{n}(ω) := \frac{1}{x_{j+1}^{n} − x_{j}^{n}} ∫_{x_{j}^{n}}^{x_{j+1}^{n}} f(z)dz, dla ω ∈ [x_{j}^{n}, x_{j+1}^{n}).

jest zbieżny p.n. do f.