Zadania z RP2. Seria 10. Martyngały.

Zad 1. Niech ξ_{1}, ξ_{2}, ... będzie ciągiem i.i.d., takim, że P(ξ_{i} = 1) = p, P(ξ = −1) = q (p+q = 1, p, q > 0). Definiujemy S_{n} = ξ_{1} + ...ξ_{n}. Przyjmujemy, że gracze A i B mają odpowiednio kapitały początkowe a i b. Niech c = a + b. Momentem ruiny gracza A nazywamy m.z.

τ_{1} := inf{n : S_{n} = −a}.

Momentem zakończenia gry nazywamy nasępujący m.z.

τ_{R} := inf{n : S_{n} ∈ {−a, b}}.

Oblicz prawdopodobieńśtwa ruiny p_{1} = P(S_{τ_{R}}) = −a, p_{2} = P(S_{τ_{R}} = b). Zad 2. Obliczyć prawdopodobieństwo ruiny gracza A w przypadku gdy gracz B ma nieskończony kapitał. Zad 3. Wyprowdzić tożsamość Walda z faktu, że (S_{n} − nEX_{1}, σ(X_{1}, ..., X_{n}) jest matyngałem. Zad 4. Udowodnić nastepującą wersję tożsamości Walda. Jeśli X_{1}, ..., X_{n} są i.i.d., EX_{1}^{2} < ∞, Eτ < ∞, to

E(S_{τ} − τEX_{1})^{2} = EτD^{2}X_{1}.

Zad 5. Udowodnić, że zagadnieniu ruiny średni czas oczekiwania wynosi ab. Zad 6. Pokazać, że w przypadku kapitału nieskończonego kapitału średni czas oczekiwania na ruinę dla gracza A wynosi \frac{a}{q−p}, p < \frac{1}{2}. Zad 7. Pokazać, że w grze symetrycznej p = \frac{1}{2} (kapitał nieskończony) średni czas oczekiwania na wygranie 1 wynosi ∞. Zad 8. Niech Z_{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i zerowej średniej, niech F_{n} = σ(Z_{1}, ..., Z_{n}) i

X_{n} = ∑_{k=1}^{n} Z_{n−1}Z_{n}, X_{0} = Z_{0}.

Zad 9. Niech ξ_{i} będą ciągiem i.i.d. P(ξ_{i} = 1) = p, P(ξ_{i} = −1) = q, gdzie p + q = 1, p, q > 0. Niech F_{n} = σ(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) i Z_{n} = (\frac{p}{q})^{ξ_{1}+...+ξ_{n}}. Wykazać, że (Z_{n}, F_{n}) jest martyngałem. Zad 10. Wykazać, że przy opowiednich założeniach funkcja wypukła od martyngału jest podmatyngałem. Funkcja wypukła niemalejąca od podmartyngału jest podmartyngałem. Zad 11. Ciąg (X_{n}, F_{n}) jest martyngałem. Zbadać (zakładając w razie czego odp. całkowalność), podnad martyngałami są

a) |X_{n}|^{p}, p ⩾ 1, (b (X_{n} ∧ a)_{n}, (c (X_{n} ∨ a)_{n}.

Zad 12. Pokaż, że (X_{n}, F_{n}), X_{0} = 0 jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego (wystrczy 2-punktowy) m.z. τ, EX_{τ} = 0.