Kolokwium z RP2 21.01.2006

Zad 1. Niech a > 0. Niech X_{1}, X_{2}, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o gęstości

g(x) := ax^{−2}1_{{x>a}}.

Do jakiego rozkładu zbiega ciąg zmiennych losowych

Y_{n} := \frac{1}{n} max_{1⩽i⩽n} X_{i}.

Zad 2. Korzystając z CTG oblicz granicę

e^{−n} ∑_{0⩽k⩽n+t\sqrt{n}} \frac{n^{k}}{k!} ,

gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zad 3. Niech X będzie zmienną losową taką, że P(X = ±1) = \frac{1}{2}. Czy istnieje zmienna losowa Y niezależna od X taka, że X + Y ma taki sam rozkład jak 2Y. Zad 4. Dany jest ciąg (X_{n}) zmiennych niezależnych o tym samym rozkładzie P(X_{n} = \frac{1}{2}) = P(X_{n} = \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}, n = 1, 2, .... Określamy zmienną losową τ wzorem

τ = inf\{n : X_{1}...X_{n} < \frac{1}{100}\}.

1. Udowodnić, że τ jest momentem zatrzymania względem F_{n} = σ(ε_{1}, ..., ε_{n});

2. Udowodnić, że P(τ < ∞) = 1;

Zad 5. Urna zawiera b_{0} białych i c_{0} czarnych kul b_{0}, c_{0} ⩾ 1. Losujemy kulę z urny, zwracamy ją i dokładamy m kul tego samego koloru. Niech b_{n}, c_{n} oznaczają liczbę kul białych i czarnych po n tym losowaniu. Definiujemy X_{n} = \frac{c_{n}}{b_{n}+c_{n}} jest to ułamek kul czarnych w urnie po n tym losowaniu i F_{n} = σ(X_{0}, ..., X_{n}), n = 0, 1, 2, ... Udowodnij, że (X_{n}, F_{n}) jest martyngałem. Czy ten martyngał jest zbieżny p.n.? Czy jest zbieżny w L_{1}, jeśli tak, to jaka jest wartość oczekiwana granicy? Zad 6. W Rurytani syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4 a syn nie piekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w potomek piekarza w n-tym pokoleniu jest piekarzem? Jaki procent ludzi w Rurytani jest piekarzami?