Zadania z RP 1. Seria 9. Zmienne losowe

Zadania statystyczne

Zad 1 Znaleźć minimum funkcji E(X − t)^{2}, gdzie X jest zmienną mającą wariancję.

Bywa, zmienne losowe Xi Y są zależne, a nas interesuje stopień korelacji między nimi. Definiuje się kowariancję zmiennych losowych Cov(X, Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]. W szczególności D^{2}X = Cov(X, X). W statystyce do badania korelacji zmiennych wykorzystuje się współczynnik korelacji

ρ(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D^{2}X}\sqrt{D^{2}Y}} .

Można pokazać, że |ρ| ⩽ 1. Oraz |ρ| = 1 tylko w wypadku linowej zależności między zmiennymi X, Y.

Zad 2 Pokaż, że ρ(X, Y) = ρ(Y, X), ρ(aX + b, Y) = sgna · ρ(X, Y), o ile a ≠ 0.

Zad 3 (Zagadnienie portfela inwestycyjnego) Zmienne losowe X_{0} i X_{1} mają dane EX_{0} = 0.05, EX_{1} = 0, 07, \sqrt{D^{2}X_{0}} = 0.02, \sqrt{D^{2}X_{1}} = 0.03, ρ(X_{0}, X_{1}) = −0.5. Niech X_{t} = tX_{0} + (1 − t)X_{1}, t ∈ [0, 1]. Dla jakiego t wariancja jest minimalna?

Zad 4 Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o skończonej wariancji, D^{2}X ≠ 0. Wyznaczyć liczby a i b takie, że E(Y − aX − b)^{2} była minimalna. Prostą o równaniu

y = \frac{Cov(X, Y)}{D^{2}X}(x − EX) + EY.

nazywamy prostą liniowej regresji.

Zadania ze zmiennych niezależnych

Zad 5 Przypuśćmy, że zmienne X_{1}, ..., X_{n} są niezależne (mają wspólną dystrybuantę F). Znajdź rozkład zmiennych Y = max{X_{1}, ..., X_{n}}, Z = max{Y_{1}, ..., Y_{n}}. W szczególności rozwiąż zadanie w przypadku, gdy zmienne pochodzą z rozkładu wykładniczego E(λ).

Zad 6 Niech U = min{X, Y }, V = max{X, Y }−min{X, Y }, gdzie X, Y niezależne wykładnicze z E(1). Pokaż, że zmienne U, V są niezależne.

Zad 7 Załóżmy, że zmienne niezależne X, Y pochodzą z rozkładu Poissona, odpowiednio P(μ), P(ν). Pokaż, że zmienna X + Y ma rozkład X + Y ma rozkład P(μ + ν).

Istnieje ogólna metoda szukania rozkładów sum zmiennych losowych niezależnych.

Twierdzenie 1 Jeśli X_{1}, X_{2} są niezależne wówczas μ_{X_{1}+X_{2}} = μ_{X_{1}} ∗μ_{X_{2}}, gdzie działanie ∗ : M×M → M, (M -miary probabilistyczne) nazywa się splotem i definiuje następująco

μ_{X_{1}} ∗ μ_{X_{2}}(B) = ∫_{−∞}^{∞} μ_{X_{1}}(B − y)μ_{X_{2}}(dy).

W przypadku rozkładów ciągłych μ_{X_{1}}, μ_{X_{2}} mają gęstości f_{1}, f_{2}. Twierdzenie daje, że

μ_{X_{1}+X_{2}} = μ_{X_{1}} ∗ μ_{X_{2}}(B) = ∫_{−∞}^{∞} μ_{X_{1}}(B − y)μ_{X_{2}}(dy) = ∫_{B} ∫_{−∞}^{∞} f_{1}(u − y)f_{2}(y)dydu = ∫_{B}(f_{1} ∗ f_{2})(u)du,

gdzie f_{1} ∗ f_{2}(u) = ∫_{−∞}^{∞} f_{1}(u − y)f_{2}(y)dy, jest gęstością rozkładu zmiennej X_{1} + X_{2}.

Zad 8 Niech X_{1}, X_{2} będą zmiennymi niezależnymi z rozkładu jednostajnego U[0, 1]. Znajdź gęstość zmiennej X_{1} + X_{2}. Zad 9 Niech zmienne X_{1}, ..., X_{n} są niezależne i mają rozkłady wykładnicze z parametrem λ. Pokaż, że zmienna X_{1} + ... + X_{n} ma rozkład o gęstości \frac{λ^{n}}{(n−1)!}e^{−λx}1_{(0,∞)}(x) (to znaczy γ_{n,λ}). . Niech X = (X_{1}, ..., X_{n}) będzie wektorem gaussowskim, czyli zmienną losową o wartościach w ℝ^{n} i gęstości

f(x) := \frac{\sqrt{det Q}}{(\sqrt{2π})^{n}} e^{−⟨ℚ(x−m),(x−m)⟩}, x = (x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n}, m = (EX_{1}, ..., EX_{n}), Q = Cov^{−1},

gdzie Cov = (a_{i,j})_{1⩽i,j⩽n} jest macierzą taką, że a_{i,j} = Cov(X_{i}, X_{j}). Wówczas zachodzi bardzo ważny fakt: dowolna kombinacja liniowa α_{1}X_{1} + ... + α_{n}X_{n} + b, gdzie α_{1}, ..., α_{n}, b ∈ ℝ jest wektorem gaussowskim. Zad 10 Niech X ma rozkład gaussowski N (0, 1). Znajdź rozkład aX + b. Niech teraz X_{1}, ..., X_{n} niezależne gaussowskie o rozkładach N (m_{i}, σ_{i}^{2}). Znajdź rozkład zmiennej X_{1} + ... + X_{n}. Dla zmiennych niezależnych X_{1}, ..., X_{n} zachodzi użyteczny wzór EX_{1}..., X_{n}=EX_{1}...EX_{n}. Zad 11 Wykonujemy n doświadczeń Bernouliego z prawdopodobieństwem sukcesu 1− \frac{1}{n}. Policz wartość oczekiwaną zmiennej Y_{n} iloczynu liczby sukcesów. Ile wynosi lim_{n→∞} EY_{n}? Nierówności probabilistyczne Twierdzenie 2 Zachodzą nierówności:

• (Nierówność Czebyszewa) P(X ⩾ ϵ) ⩽ \frac{EX}{ϵ};

• (Nierówność Markowa) P(|X| ⩾ ϵ) ⩽ \frac{E|X|^{p}}{ϵ^{p}}, p > 0;

• (Nierówność Czebyszewa) P(|X − EX| ⩾ ϵ) ⩽ \frac{D^{2}X}{ϵ^{2}} ;

• (Nierówność Czebyszewa) P(X ⩾ ϵ) ⩽ \frac{Ee^{λx}}{e^{λϵ}}. Zad 12 Udowodnij regułę trzech. Niech σ^{2} = D^{2}X, pokaż że P(|X − EX| > 3σ) ⩽ \frac{1}{9}. Zad 13 Wykaż, że jeśli X > 0, EX > 0, to \frac{1}{EX} ⩽ E(\frac{1}{X}). Zad 14 Pokaż, że jeśli 0 < p < q, to (E|X|^{p})^{\frac{1}{p}} ⩽ (E|X|^{q})^{\frac{1}{q}}. Zad 15 Wykaż nierówność Schwarza. Jeśli E|X|^{2} < ∞, E|Y |^{2} < ∞, to E|XY | ⩽ E|X|^{2}E|Y |^{2}.