Zadania z RP 1. Seria 8. Rozkłady wielowymiarowe

Zad 1 Udowodnić, że jeśli wektor losowy X o wartościach w ℝ^{n} ma rozkłady ciągły z gęstością f, S jest otwartym podzbiorem ℝ^{n}, takim, że P(X ∈ S) = 1, φ : S → ℝ^{n} jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem klasy C^{1}, J_{φ} ≠ 0, to gęstość zmiennej losowej Y = φ(X) ma postać

g(y) = f(φ^{−1}(Y))|J_{φ^{−1}}(y)|, y ∈ φ(S).

Zad 2 Znaleźć rozkład łączny Y_{1} = (cos t)X_{1} + (sin t)X_{2}, Y_{2} = (sin t)X_{1} − (cos t)X_{2}, jeśli

• (X_{1}, X_{2}) ∼ N (0, ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} ))

• (X_{1}, X_{2}) ∼ N (0, ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))

Zad 3 Znajdź rozkład zmiennych U = min(X, Y), V = max(X, Y) − min(X, Y), gdzie X, Y niezależne o rozkładzie wykładniczym λ > 0.

Zad 4 Znajdź gęstość zmiennej Z = X+Y, gdzie wektor (X, Y) ma gęstość f(x, y) = \frac{1}{2}(x+y) exp(−(x+ y))1_{{x,y>0}}.

Zad 5 Niech X ma rozkład o ciągłej dystrybuancie F. Pokaż, że n-ta statystyka pozycyjna ma dystrybuantę F_{n:k} = ∑_{i=0}^{k−1} \binom{n}{i}(F (t))^{i}(1 − F (t))^{n−i}.

Zad 6 Niech U = (U_{n:1}, ..., U_{n:n}) będzie wektorem statystyk pozycyjnych. Wykaż, że U rozkład jednostajny na simpleksie △_{n} = {(x_{1}, ..., x_{n}) : 0 ⩽ x_{1} ⩽ ... ⩽ x_{n} ⩽ 1}. Wyznaczyć EU_{n:k}.

Zad 7 Niech r_{n} będzie ciągiem niezależnych zmiennych Rademachera, tzn. P(r_{n} = ±1) = 1/2. Pokaż, że

P((a_{1}r_{1} + ... + a_{n}r_{n}) > t\sqrt{n}) < exp(−t^{2}/(2∥a∥_{2}^{2})),

gdzie ∥a∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + ...a_{n}^{2}}.

Zad 8 Podać przykład nieskorelowanych zmiennych gaussowskich X, Y które nie są niezależne.

Zad 9 Udowodnij, że jeśli wektor (X_{1}, ..., X_{n}) ma gęstość gaussowską, to z nieskorelowania wynika niezależność zmiennych (X_{1}, ..., X_{n}).

Zad 10 Pokaż, że dla każdej rosnącej, różniczkowalnej funkcji φ takiej, że φ(0) = 0 zachodzi wzór

Eφ(X) = ∫_{0}^{∞} φ′(t)P(X > t)dt.

Zad 11 Wykaż, że w szczególności jeśli P(X ∈ ℕ) = 1, to

EX = ∑_{n=0}^{∞} P(X > n).

Zad 12 Podaj przykład dwóch funkcji ciągłych, różnych od stałej, określonych na przedziale Ω = [0, 1], które potraktowane jako zmienne losowe (P = | · |-miara Lebesgue’a na [0, 1]) są niezależne. Czy takie funkcje mogą mieć wahanie skończone.