Zadania z RP 1. Seria 7. Rozkłady prawdopodobieństwa

Definicja 1 Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy EX := ∫_{Ω} X(ω)P(dω) = ∫_{ℝ} xμ_{X}(dx). W przypadku zmiennej losowej dyskretnej EX = ∑_{x∈S} xμ_{X}({x}), gdzie S jest przeliczalnym zbiorem wartości μ_{X}(S) = 1. W przypadku zmiennej losowej ciągłej o gęstości f(x) mamy EX = ∫_{ℝ} xf(x)dx.

Definicja 2 Wariancją zmiennej losowej X nazywamy

D^{2}X := ∫_{Ω}[X(ω) − EX]^{2}P(dω) = ∫_{ℝ}[x − EX]^{2}μ_{X}(dx)

W przypadku zmiennej losowej dyskretnej D^{2}X = ∑_{x∈S}(x − EX)^{2}μ_{X}({x}). W przypadku zmiennej losowej ciągłej o gęstości f(x) mamy D^{2}X = ∫_{ℝ}(x − EX)^{2}f(x)dx.

Definicja 3 Zmienne X_{1}, ..., X_{n} określone na (Ω, F, P) nazywamy niezależnymi jeśli

P(X ∈ B_{1}, ..., X ∈ B_{n}) = P(X ∈ B_{1})...P(X ∈ B_{n}), ∀ B_{1}, B_{2}, ..., B_{n} ∈ B(ℝ).

W przypadku zmiennych dyskretnych X_{1}, ..., X_{n} o przeliczalnych zbiorach wartości S_{1}, ..., S_{n} oznacza to, że P(X_{1} = x_{1}, ..., X_{n} = x_{n}) = P(X_{1} = x_{1})...P(X_{n} = x_{n}), dla każdego x_{1} ∈ S_{1}, ..., x_{n} ∈ S_{n}. W przypadku zmiennych ciągłych X_{1}, ..., X_{n} o gęstościach f_{1}, ..., f_{n}, zmienne X_{1}, ..., X_{n} są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zmienna (X_{1}, ..., X_{n}) ma rozkład ciągły z gęstością

f(x_{1}, ..., x_{n}) = f_{1}(x_{1})...f_{n}(x_{n}), x_{1}, ..., x_{n} ∈ ℝ.

Twierdzenie 1 Dla dowolnych zmiennych X_{1}, ..., X_{n}, E(X_{1} + ... + X_{n}) = EX_{1} + ...EX_{n}. Jeśli zmienne X_{1}, ..., X_{n} są niezależne, to D^{2}(X_{1} + ... + X_{n}) = D^{2}X_{1} + ... + D^{2}X_{n}.

Zad 1 Udowodnij, że D^{2}X = EX^{2} − (EX)^{2}. Zauważ, że D^{2}X = D^{2}(X − EX).

Zad 2 Przykład, że Twierdzenie 1 przydaje się. Niech X oznacza sumę oczek uzyskaną w stukrotnym rzucie kostką. Pokaz, że EX = 350.

Zad 3 Niech X ma rozkład jednopunktowy δ_{a} zadany wzorem P(X = a) = 1. Pokaż, że EX = a, D^{2}X = 0.

Zad 4 Niech X ma rozkład Bernouliego B(n, p) zadany wzorem P(X = k)\binom{n}{k}p^{k}q^{n−k}, p + q = 1. Pokaz, że EX = np, D^{2}X = npq.

Zad 5 Wykonujemy doświadczenia Bernouliego, aż do chwili otrzymania pierwszego sukcesu. Niech X oznacza liczbę wykonanych doświadczeń. Pokaż, że EX = 1/p, D^{2}X = q/p^{2}.

Zad 6 Przypuśćmy, że zmienna losowa ma rozkład Poissona P(λ) zadany wzorem P(X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, k = 1, 2, .., λ > 0. Pokaż, że EX = λ, D^{2}X = λ.

Zad 7 Niech X ma rozkład jednostajny U[a, b] na przedziale [a, b], o gęstości g(x) = \frac{1}{b−a}1_{[a,b]}(x). Pokaż, że EX = \frac{a+b}{2}, D^{2}X = \frac{(b−a)^{2}}{2} .

Zad 8 Niech zmienna X ma rozkład wykładniczy E(λ) o gęstości g(x) = λe^{−λ}1_{(0,∞)}(x), λ > 0. Pokaż, że EX = 1/λ, D^{2}X = 1/λ^{2}.

Zad 9 Niech zmienna X ma rozkład gamma γ_{a,b} o gęstości g(x) = \frac{b^{a}}{Γ(a)}x^{a−1}e^{−bx}1_{(0,∞)}(x). Pokaż, że EX = a/b, D^{2}X = a/b^{2}.

Zad 10 Niech zmienna X ma rozkład gaussowski N (m, σ^{2}) o gęstości g(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{− \frac{(x−m)^{2}}{2σ^{2}}} . Pokaż, że EX = m, D^{2}X = σ^{2}.

Zad 11 Pokaż, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f wówczas F′_{X}(t) = f(t).

Zad 12 Znajdź dystrybuantę rozkładu geometrycznego P(X = k) = pq^{k−1}, rozkładu jednostajnego U[a, b] oraz rozkładu wykładniczego E(λ).

Zad 13 Pokaż, że jeśli a, b ∈ ℝ oraz Z = aX + bY, to zachodzi wzór EZ = aEX + bEY. Pokaż, że jeśli X, Y niezależne, to D^{2}Z = a^{2}D^{2}X + b^{2}D^{2}Y.

Zad 14 Rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy wszystkie oczka. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby rzutów.

Zad 15 Pokaż, że jeśli X jest zmienną losową o wartościach w ℕ, to EX = ∑_{n=0}^{∞} P(X > n). Można wykazać, że jeśli X ⩾ 0, to EX = ∫_{0}^{∞} P(X > x)d(x).