Zadania z RP 1. Seria 6. Zmienne losowe

Definicja 1 Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Odwzorowanie X : Ω → ℝ^{n} nazywamy zmienną losową o wartościach w R^{n}, jeśli dla każdego A ∈ B(ℝ^{n}) zbiór X^{−1}(A) ∈ F.

Definicja 2 Rozkładem prawdopodobieństwa na ℝ^{n} nazywamy dowolną miarę probabilistyczną μ (to znaczy μ(ℝ^{n}) = 1) na (ℝ^{n}, B(ℝ^{n})).

Definicja 3 Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach w ℝ^{n} nazywamy rozkład prawdopodobieństwa μ_{X} określony na (R^{n}, B(R^{n})) zależnością

μ_{X}(B) = P(X^{−1}(B)), B ∈ B(R^{n}).

Istnieją dwa podstawowe rodzaje rozkładów.

Definicja 4 Rozkład μ na ℝ^{n} nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje przeliczalny podzbiór S ⊂ ℝ^{n} taki, że μ(S) = 1.

Definicja 5 Rozkład μ na ℝ^{n} nazywamy ciągłym, jeśli dla pewnej funkcji f : ℝ^{n} → ℝ, całkowalnej mamy

μ(A) := ∫_{A} f(x)μ(dx), A ∈ B(ℝ^{n}).

Wprowadzamy użyteczne pojęcie dystrybuanty.

Definicja 6 Dystrybuantą rozkładu μ na ℝ nazywamy funkcję F : ℝ → ℝ zadaną wzorem F (t) := μ((−∞, t]). Jeśli rozkład wyznaczony jest przez zmienną losową X dystrybuantę nazywamy F_{X}.

Zad 1 Wykazać, że jeśli X zmienną losową φ : ℝ → ℝ jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to φ(X) nie musi być zmienną losową. Pokaż, że jeśli φ : ℝ → ℝ jest mierzalna względem σ-ciała zbiorów borelowskich, to φ(X) jest zmienną losową.

Zad 2 Znaleźć σ-ciało generowane przez zmienną losową X, jeśli:

• Rzucamy symetryczną kostką, X przyjmuje wartość 1, gdy wypadła parzysta liczba oczek, 2- jeśli nieparzysta.

• Losujemy punkt z koła K(a, 1), X(ω) = |ω − a|.

Jaki jest rozkład, dystrybuanta tej zmiennej.

Zad 3 Wykonujemy doświadczenia Bernouliego, aż do chwili otrzymania pierwszego sukcesu. Niech X oznacza liczbę wykonanych doświadczeń. Wyznacz rozkład X, wyznacz dystrybuantę F_{X}.

Zad 4 Przypuśćmy, że doświadczenie Bernouliego B(n, λ/n) wykonujemy n-razy na sekundę, a czas oczekiwania na pierwszy sukces X_{n} mierzymy w sekundach. Znajdź dystrybuantę F_{X_{n}} i oblicz granicę lim_{n→∞} F_{X_{n}}(t), t ∈ ℝ.

Zad 5 Dystrybuanta rozkładu μ dana jest wzorem

F_{μ} = \{ \begin{matrix}0 & dla & x < 0, \\ 0.1 + x & dla & 0 ⩽ x < 0.5, \\ 0.4 + x & dla & 0.5 ⩽ x < 0.55, \\ 1 & dla & x ⩾ 0.55. \end{matrix}

Wyznaczyć μ(\frac{1}{2}), μ([0, \frac{1}{2}]), μ((0, 0.55)). Zad 6 W Szuflandii najniższa płaca wynosi 10, a maksymalna 100. Szansa, że dostaniemy więcej niż x, x ∈ (10, 100) wynosi \frac{(x−100)(x−110)}{9000}. Znajdź gęstość tego rozkładu. Zad 7 Przypuśćmy, że F (t) = 0 dla t ⩽ 0 i F (t) = 1 dla t ⩾ 1. Na przedziale [0, 1] F (t) = at^{2} + bt + c. Pokaż, że F może być dystrybuanta rozkładu tylko wtedy gdy c = 0, a + b = 1, a ⩾ −1 i b ⩾ 0. Zad 8 Pokaż, że μ_{X}(−∞, t) = F_{X}(t−) oraz μ({x}) = F_{X}(t) − F_{X}(t−). Zad 9 Udowodnij, że F_{X} ma własności

• F_{X} jest niemalejące, to znaczy jeśli s ⩽ t, to F_{X}(s) ⩽ F_{X}(t);

• lim_{t→∞} F_{X}(t) = 1, lim_{t→−∞} F_{X}(t) = 0;

• Pokaż, że F_{X} jest prawostronnie ciągła. To znaczy lim_{s→t_{+}} F_{X}(s) = F (t). Zad 10 Niech Ω = [0, 1] × [0, 1] będzie kwadratem z miarą jednostajnie rozłożoną. Niech X(ω) będzie odległością ω ∈ Ω od najbliższej krawędzi w kwadracie. Policz F_{X}. Zad 11 Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeżeli X ma rozkład wykładniczy z parametrem α. Zad 12 Pokaż, że istnieją dwie różne zmienne losowe X, X′, (zbudowane na tej samej przestrzeni probabilistycznej) które mają ten sam rozkład. To znaczy μ_{X} = μ_{X′}. Zad 13 Pokaż, że dystrybuanta F_{X} jest ciągła w punkcie t wtedy i tylko wtedy, gdy P_{X}({t}) = 0. Zad 14 Podaj przykład dystrybuanty, której zbiór punktów nieciągłości jest gęsty. Zad 15 Wykaż, że rozkłady geometryczny i wykładniczy mają własność braku pamięci to znaczy

P(X > t + s|X > t) = P(X > s),

gdzie w przypadku rozkładu geometrycznego s, t ∈ ℕ, w przypadku wykładniczego s, t ∈ ℝ_{+}. Zad 16 Ciągła dystrybuanta F ma pochodną g (w każdym punkcie). Pokaż, że g jest gętością dla dystrybuanty F. Zad 17 Niech X ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości (jeśli istnieją) dla (a) Y = e^{X},

(b) Y = X^{2}.