Zadania z RP 1. Seria 5. Niezależność zdarzeń

1. Niezależność zdarzeń

Definicja 1 Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Zad 1 Niech Ω będzie zbiorem n elementowym, A, B ⊂ Ω niezależne. Pokaż, że jeśli A ma i elementów wówczas B musi mieć j = kn(NW D(i, n))^{−1} elementów, gdzie k ∈ {0, 1, ..., NW D(i, n)}.

Zad 2 Niech A, B, C będą niezależne. Pokaż, że (a) A, B ∩ C są niezależne; (b) A, B ∪ C są niezależne;

(c) A, B\C są niezależne.

Zad 3 Kierowcy dzielą się na ostrożnych (jest ich 95% i taki kierowca powoduje wypadek w ciągu roku z prawdopodobieństwem 0, 01) i piratów (jest ich 5%, szansa na wypadek w ciągu roku 0, 5). Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w roku 1998 ani 1999. Jaka jest szansa, że spowoduje wypadek w roku 2000?

Zad 4 Adam, Barnaba i Czesław strzelają do tarczy; szansa trafienia wynosi p. Wiadomo, że dwóch trafiło Wybierz właściwą odpowiedź: (a) jest większa szansa, że Czesław trafił; (b) jest większa szansa, że Czesław nie trafił; (c) szanse są równe.

Zad 5 Król Artur urządza turniej rycerski, w którym rycerze spotykają się systemem turniejowym. Obaj uczestnicy każdego pojedynku mają równe szanse na zwycięstwo. Wśród 2^{n} uczestników jest dwóch braci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają w pojedynku?

Zad 6 W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem \frac{1}{6} wygrają goście, \frac{1}{2} gospodarze, a z prawdopodobieństwem \frac{1}{3} będzie remis. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 14 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy.

2. Lemat o π i λ układach Definiujemy

1. π układ Π: jeśli A, B ∈ Π, to A ∩ B ∈ Π.

2. λ układ Λ: ∅, Ω ∈ A; jeśli A ∈ Λ, to A′ ∈ Λ; jeśli A_{i} ∈ Λ oraz A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ..., to ⋃ A_{i} ∈ Λ

Lemat 1 Jeśli λ układ Λ zawiera π układ Π, to zawiera również σ(Π).

Zad 7 Pokaż, że dwie miary probabilistyczne μ, ν na prostej ℝ z σ-ciałem Borelowskim są równe jeśli μ(−∞, t] = ν(−∞, t] dla każdej liczby t ∈ ℝ.

Zad 8 Funkcję X : Ω ∈ ℝ nazywamy Borelowską jeśli X^{−1}(A) ∈ F, dla każdego A ∈ B(ℝ), gdzie F jest pewnym σ-ciałem na Ω. Pokaż, że wystarczy sprawdzić warunek dla każdego A = (−∞, t], t ∈ ℝ.

3. Schemat Bernouliego Schematem Bernouliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach, nazywanych umownie sukcesem i porażką. Poszczególne doświadczenia będziemy nazywać próbami Bernouliego.

Twierdzenie 1 Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p wynosi \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}.

Zad 9 Rzucono 10 razy kostką. Jaka jest szansa otrzymania • 6 oczek co najmniej raz?

• 5 oczek co najmniej raz? Zad 10 Dwie osoby rzucają n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda z nich otrzyma tę samą liczbę orłów? Zad 11 Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernouliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p. Zad 12 Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek sześciennych suma oczek 8 wypadnie przed sumą oczek 7. Zad 13 Rzucamy monetą tak długo, aż wypadnie orzeł. Jaka jest szansa, że gra się zakończy po parzystej liczbie rzutów?

4. Lemat Borela-Canteli Definiujemy zdarzenia

lim sup A_{n} := ⋂_{m=1}^{∞} ⋃_{n=m}^{∞} A_{n}, lim inf A_{n} := ⋃_{m=1}^{∞} ⋂_{n=m}^{∞} A_{n}

Lemat 2 1. Jeśli ∑_{n=1}^{∞} P(A_{n}) < ∞, to P(lim sup A_{n}) = 0.

2. Jeśli zdarzenia A_{1}, A_{2}, ... są niezależne i ∑_{n=1}^{∞} P(A_{n}) = ∞ , to P(lim sup A_{n}) = 1 Zad 14 Pokaż, że w nieskończonym ciągu prób Bernouliego ciąg ROOOR powtórzy się nieskończoną liczbę razy. Zad 15 Zdarzenia A_{i} są niezależne i mają różne p-stwa. Jaka jest szansa, że zajdzie nieskończenie wiele spośród nich? Zad 16 Rzucamy monetą nieskończenie wiele razy. Niech A_{n} oznacza, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykazać, że z p-stwem 1 zachodzi nieskończenie wiele zdarzeń A_{n}.