Zadania z RP 1. Seria 4. P-swto całkowite i Wzór Byesa

1. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie 1 Jeśli {B_{1}..., B_{n}} jest podziałem zbioru Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, to dal każdego zdarzenia A mamy

P(A) = ∑_{i=1}^{n} P(A|B_{i})P(B_{i}).

1. Wzór Bayesa

Twierdzenie 2 Jeśli {H_{i}}_{i∈I} jest przeliczalnym rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie i P(A) > 0, to dla dowolnego j ∈ I mamy

P(H_{j}|A) = \frac{P(A|H_{j})P(H_{j})}{∑_{i∈I} P(A|H_{i})P(H_{i})}.

Zad 1 Znaleźć prawdopodobieństwo wybrania przedmiotu gatunku I, jeśli jest 5/100 braków, a 80/100 przedmiotów dobrych jest I gatunku?

Zad 2 W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli na kostce wypadnie mniej niż 5 oczek to losujemy kulę z pierwszej urny, jeżeli wypadnie 5 lub 6 oczek, to losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Zad 3 W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Wyciągnięto jedną kulę z urny i wyrzucono bez oglądania, a potem wyciągnięto następną. Jaka jest szansa, że za drugim razem wyciągnięto kulę białą?

Zad 4 Jest n monet, ale k z nich jest niesymetrycznych i orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka jest szansa, że moneta jest niesymetryczna?

Zad 5 Wśród 65 monet jest jedna z dwoma orłami. Na wybranej losowo monecie orzeł wypadł 6 razy z rzędu. Jaka jest szansa, że była to moneta z dwoma orłami?

Zad 6 Przypuśćmy, że 5 mężczyzna na 100 i 25 kobiet na 10000 nie rozróżnia kolorów. Wybrano losową osobę nie rozróżniającą kolorów. Jakie jest p-stwo, że jest ona mężczyzną?

Zad 7 W mieście działają taksówki: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15% samochodów). wiadek nocnego wypdaku zakończonego ucieczką kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty pokazały, że świadek rozpoznaje kolor poprawanie w 80% przypadków, a myli się w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?

Zad 8 Znaleźć prawdopodobieństwo q_{a} ruiny gracza, który zaczyna grę z kapitałem a zł, a kończy gdy będzie miał c zł lub gdy się zrujnuje.

Zad 9 Udowodnić, że zdarzenia A_{i} rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy tylko wtedy gdy dla prawie wszystkich zbiorów P (A_{i}) = 0. (Poza być może jednym).

Zad 10 Pokazać, że wylosowanie z talii kart asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi.

Zad 11 Adam, Bolek i Czesio rzucają po kolei monetą. Wygra ten który pierwszy wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy.

Zad 12 Owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}. Potomek wylęga się z jaja z prawdopodobieństwem p niezależnie od pozostałych. Znaleźć szansę, że liczba potomków będzie równa l.

Zad 13 Zdarzenia A_{1}, ..., A_{n} są niezależne i P(A_{k}) = p_{k}. Znaleźć p-swto p, że żadne ze zdarzeń A_{k} nie zachodzi. Wykazać, że p < exp(− ∑ p_{k})

Zad 14 Wykaż, że p-swto, że zajdzie jednocześnie k lub więcej zdarzeń z A_{1}, ..., A_{n} jest mniejsze od (p_{1} + ... + p_{k})^{k}/k!

Zad 15 Gracz ma nieskończony kapitał i gra aż do momentu w którym wygra b zł. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A.

Zad 16 Dwie osoby rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda otrzyma tę samą liczbę orłów.

Zad 17 W komodach A, B i C są po dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta, przy czym w komodzie A są monety złote w C monety srebrne, a w B jest jedna srebrna i jedna złota moneta. Wylosowano komodę, następnie szufladę, i znaleziono tam monetę złotą. Jaka jest szansa, że w drugiej szufladzie też jest złota moneta?