Zadania z RP 1. Seria 3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Wzór podstawowy

Definicja 1 Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P (B) > 0 nazywamy liczbę

P(A|B) := \frac{P(A ∩ B)}{P(B)}.

Zad 1 Niech p-stwo p_{n}, że rodzina ma dokładnie n dzieci, będzie równe αp_{n}, gdzie n ⩾ 1 oraz p_{0} = 1 − αp(1 + p + p^{2} + ...). Przypuśćmy, że wszystkie rozkłady płci n dzieci mają równe p-stwa. Wykazać, że dla k ⩾ 1 p-stwo, że rodzina ma dokładnie k chłopców jest 2αp^{k}/(2 − p)^{ε+1}.

Zad 2 Wiadomo, że rodzina ma co najmniej chłopca. Jakie jest p-stwo, że ma ich dwóch lub więcej?

Zad 3 Padać przykład zdarzeń A, B i C, dla których: P(A|B) < P(A|B′) i jednocześnie P(A|B ∩C) ⩾ P(A|B′ ∩ C) P(A|B ∩ C′) ⩾ P(A|B′ ∩ C′).

Zad 4 Mamy w urnie b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wyrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest p-stwo p_{k,n} wyciągnięcia k kul czarnych w n losowaniach.

Twierdzenie 1 Jeśli zdarzenia A_{1}, ..., A_{n} spełniają warunek

P(A_{1} ∩ ... ∩ A_{n−1}) > 0,

to

P(A_{1} ∩ ... ∩ A_{n}) = P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}) · ... · P(A_{n}|A_{1} ∩ A_{2} ∩ ... ∩ A_{n−1}).

Zad 5 Student otrzymuje losowo na egzaminie 3 pytania ze 100. Aby zdać musi odpowiedzieć na wszystkie 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zda jeśli zna odpowiedzi na 90 pytań.

Zad 6 Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Zad 7 Gracz dostał 13 kart z 52, obejrzał 8 i stwierdził, że nie ma asa. Jaka jest szansa, że w ogóle nie ma asa?

Zad 8 Jaka jest szansa, że każdy z graczy S,E,W ma co najmniej jednego asa, jeśli wiadomo, że N nie ma żadnego?

Zad 9 Z talii 8 kart (4 króle i 4 asy) wybieramy losowo dwie karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 króle jeśli wiadomo, że

• wybrano co najmniej jednego króla,

• wśród wybranych jest czarny król,

• wśród wybranych kart jest król pik.

Zad 10 Z talii 32 kart wyciągamy 5. Niech • A zdarzenie polegające na wyciągnięciu dokładnie 3 króli,

• B zdarzenie polegające na wyciągnięciu co najmniej 1 króla,

• C zdarzenie polegające na wyciągnięciu czarnego króla,

• D zdarzenie polegające na wyciągnięciu króla pik. Znaleźć prawdopodobieństwa P(A|B), P(A|C), P(A|D). Zad 11 Czterej gracze dostali po 13 kart z 52. Jeden z nich zobaczył, że sąsiad posiada

• asa pik;

• jakiegoś asa czarnego koloru;

• jakiegoś asa. Jaka jest szansa, że ten gracz nie ma asa? Zad 12 W loterii fantowej zorganizowanej na balu szansa wygranej jest równa p, przegranej q, a z prawdopodobieństwem równym r wciągamy los ’graj dalej’. Los ’graj dalej’ wrzucamy z powrotem do urny i dokonujemy ponownego losowania. jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?