Zadania z RP1. Seria 2. Kombinatoryka

1. Jak to policzyć?

1. Wariacja z powtórzeniami A_{n}^{m}. Dowolne funkcje ze zbioru {1, 2, ..., m} w zbiór {1, ..., n}, A_{n}^{m} = n^{m}.

2. Wariacja bez powtórzeń V_{n}^{m}. Funkcje różnowartościowe ze zbioru {1, ..., m} w zbiór {1, 2, ..., n}, m ⩽ n, V_{n}^{m} = n(n − 1)...(n − m + 1) = \frac{n!}{(n−m)!}.

3. Permutacja P_{n}. Funkcje ze zbioru {1, ..., n} na zbiór {1, ..., n}, P_{n} = n!.

4. Kombinacja C_{n}^{m}. Podzbiory m elementowe w zbiorze n elementowym, C_{n}^{m} = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n−m)!}.

5. Kombinacja z powtórzeniami. Funkcje niemalejące ze zbioru {1, 2, ..., m} w zbiór {1, 2, ..., n}. Jest ich \binom{n+m−1}{m} = \binom{n+m−1}{n−1}.

6. Podział. Podziały zbioru n-elementowego na m-części zawierających r_{1}, ..., r_{m} elementów (r_{1} +

... + r_{m} = n). Jest ich \frac{n!}{r_{1}!...r_{m}!}. Zad 1 Cyfry 0, 1, 2, ..., 9 ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

1. Między 0 i 1 znajdą się dokładnie 4 cyfry?

2. 7, 8, 9 będą stały obok siebie? Zad 2 Z 24 kart wybieramy 5, Jaka jest szansa, że otrzymamy dokładnie 2 pary? Zad 3 Z 52 kart wylosowano 13. Jakie są szanse otrzymania:

1. 5-pików, 4-kierów, 3-trefli, 1-kara?

2. układu 5 − 4 − 3 − 1?

3. układu 4 − 4 − 4 − 1? Zad 4 Rozdano 52 karty graczom, po 13 kart każdemu. Jaka jest szansa, że: (a) każdy ma asa, (b) każdy ma jakiegoś pika, (c) każdy ma jakąś figurę (A,K,D,W) Zad 5 Ile jest płaszczyzn równoodległych od 4 zadanych punktów nie leżących na jednej płaszczyźnie. Zad 6 Na ile sposobów można rozdać n nierozróżnialnych pączków k osobom? Ile jest wyników rzutu n-nierozróżnialnych kości? Zad 7 Załóżmy, że n rozróżnialnych kul umieszczono losowo w n komórkach. Jaka jest szansa, że dokładnie jedna komórka jest pusta? Zad 8 W m różnych komórkach umieszczono n czerwonych i r zielonych kul, przy czym do każdej z komórek przydzielono co najwyżej jedną kulę. Ile jest takich rozmieszeń, jeśli:

1. kule są rozróżnialne;

2. kule są nierozróżnialne.

Zad 9 W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze 4 śrubek wybierze się 3 dobre i jedną złą? Zad 10 Jaka jest szansa, że daty urodzin 34 osób rozkładają, się na poszczególne miesiące tak: 6 miesięcy po 3 osoby, 2 miesiące po 4 osoby i 4 miesiące po 2 osoby? Zad 11 Ile jest różnych rozwiązań równania

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 25

1. w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych;

2. w zbiorze liczb naturalnych. Zad 12 Obliczyć liczbę wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia k rozróżnialnych cząstek w n różnych komórkach, jeśli komórka a_{1} może przyjąć dowolną liczbę cząstek, a pozostałe komórki co najwyżej po jednej cząstce, przy czym:

1. w komórce a_{1} ma się znaleźć dokładnie s cząstek;

2. w komórce a_{1} ma się znaleźć nie więcej niż s cząstek;

3. w komórce a_{1} ma się znaleźć co najmniej s cząstek. Zad 13 W Lotto losuje się 6 liczb z 49. Jaka jest szansa, że żadne dwie nie będą kolejnymi. Zad 14 Roztargniona sekretarka włożyła losowo n listów do n zaadresowanych kopert. Jak jest szansa, że dokładnie k osób dostanie właściwy list. Zad 15 Znajdź liczbę funkcji ze zbioru m-elementowego na zbiór n-elementowy.