Zadania z RP 1. Seria 11. Gęstość warunkowa.

Niech (Ω, M, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, X zmienną losową określoną na tej przestrzeni. Przypomnijmy, że jeśli E|X| < ∞, wtedy dla dowolnego F ⊂ M można jednoznacznie zdefiniować warunkową wartość oczekiwaną E(X|F) (zmienną losową) za pomocą warunków

• E(X|F) jest F mierzalna;

• dla każdego A ∈ F, E(1_{A}E(X|F)) = E(1_{A}X).

W szczególności, gdy F = σ(Y), wówczas stosujemy zapis E(X|Y) = E(X|σ(Y)). Udowodniliśmy, że E(X|Y) = h(Y), gdzie h jest funkcją borelowską, zatem możemy pisać E(X|Y = y) jako wartość h(y).

Definicja 1 Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A ∈ M pod warunkiem Y = y nazywamy następująca wielkość E(1_{A}|Y = y) i oznaczamy P(A|Y = y).

Zad 1 Niech Y będzie zmienną o rozkładzie U[0, 1] - jednostajnym na odcinku [0, 1]. Jeśli Y = x, to rzucamy n razy monetą, której szansa wypadnięcia orła wynosi x. Niech S_{n} oznacza liczbę wyrzuconych orłów. Znajdź prawdopodobieństwo P(S_{n} = k), k = 0, 1, 2, ..., n.

Zad 2 Udowodnij, że jeśli wektor (X, Y) ma gęstość f, to

P(X ∈ B|Y) = \frac{∫_{B} f(x, Y)dx}{∫_{ℝ} f(x, Y)dx}, E(φ(X)|Y) = \frac{∫_{ℝ} φ(x)f(x, Y)dx}{∫_{ℝ} f(x, Y)},

dla takich funkcji borelowskich, że E|φ(X)| < ∞. Gdy dla pewnego zdarzenia ω mamy ∫_{ℝ} f(x, Y (ω))dx = 0, wtedy kładziemy 0 w obu powyższych wzorach.

Definicja 2 Przy założeniach z powyższego zadania wielkość \frac{f(x,Y)}{∫_{R} f(x,Y)dx} nazywamy gęstością warunkową f_{(X|Y)}(x).

Zad 3 Pokaż, że jeśli (X, Y) jest wektorem normalnym N ((μ_{1}, μ_{2}), Cov), gdzie (μ_{1}, μ_{2}) jest wektorem średnich, Cov macierzą kowariancji wówczas

E(X|Y) = μ_{1} + \frac{Cov(X, Y)}{D^{2}Y}(Y − μ_{2}).

Zad 4 Odcinek [0, 1] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część łamiemy losowo na dwie. Punkty łamania mają rozkład jednostajny. Jaka jest szansa, że ze zbudowanych odcinków można zbudować trójkąt.

Zad 5 Niech X, Y, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach z gęstościami odp. g i h. Znajdź wzór na f(X|X + Y).

Zad 6 Znajdź rozkład warunkowy X pod warunkiem X + Y = t, jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach:

• X ∼ N (0, λ^{2}), Y ∼ N (0, μ^{2}) (normalny z parametrami 0, λ^{2}, 0, μ^{2})

• X ∼ E(λ), Y ∼ E(μ) (wykładniczy z parametrami λ, μ)

• X ∼ P(λ), Y ∼ P(μ) (Poissona z parametrami λ, μ)

Zad 7 Niech zmienna (X, Y) ma rozkład o gęstości f(x, y) = 8xy1_{{x>0,y>0,x^{2}+y^{2}<1}}(x, y). Znajdź E(Y |X = \frac{1}{2}).

Zad 8 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na U[0, 1]. Niech ponadto U = min(X, Y), V = max(X, Y). Znaleźć: a) E(U|V), b) E(V |U), c) E(sin(UV)|U).

Zad 9 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ pod warunkiem X = n Parametr λ jest zmienną losową o rozkładzie Γ(a, b) (rozkład gamma). Oblicz P(X = k).

Zad 10 Wyznacz rozkład warunkowy P(λ|X = n) oraz E(λ|X = n).

Zad 11 Niech X_{1}, ..., X_{n} będą zmiennymi losowymi postaci X_{i} = m + U + V_{i}, gdzie EU = EV_{i} = 0, D^{2}U = u^{2}, D^{2}V_{i} = v^{2} oraz Cov(U, V_{i}) = 0. Znajdź prostą regresji liniowej dla zmiennych X_{n+1}, S_{n} = X_{1} +...X_{n}, to znaczy zmienną aS_{n} +b, gdzie a, b są minimalizatorami funkcji E(X_{n+1} −aS_{n} +b)^{2}. Dlaczego w przypadku gdy U_{i}, V mają łączny rozkład gaussowski E(X_{n+1}|S_{n}) = aS_{n} + b tzn. naszej prostej regresji liniowej?

Zad 12 Niech P, Q będą miarami probabilistycznymi na (Ω, M), dla których istnieje gęstość dQ/dP = Z > 0 P-p.n. Niech F ⊂ M i niech E_{Q}|X| < ∞. Wówczas

E_{Q}(X|F) = \frac{E_{P}(XZ|F)}{E_{p}(Z|F)}.