Zadania z RP 1. Seria 10. Warunkowa wartość oczekiwana.

Zad 1 W schemacie Bernouliego oblicz wartość oczekiwaną liczby rzutów przeprowadzanych aż do wypadnięcia

1. dwóch sukcesów

2. dwóch sukcesów i porażki.

Zad 2 Pokaż, że jeśli Y jest ograniczoną zmienną losową F mierzalną, to

E(XY |F) = Y E(X|F).

Zad 3 Udowodnij warunkową nierówność Jensena. Jeśli funkcja φ : ℝ → ℝ jest wypukła, a zmienne losowe X i φ(X) są klasy L^{1}

φ(E(X|F)) ⩽ E(φ(X)|F), p.n.

Zad 4 Niech Y będzie zmienną losową o wartościach w ℝ^{n}, X - zmienną losową mierzalną względem σ(Y). Wówczas istnieje funkcja borelowska h : ℝ^{n} → ℝ taka, że X = h(Y).

Zad 5 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, f - funkcją borelowską. Wykazać, że

E(f(X, Y)|Y = t) = Ef(X, t).

Zad 6 Definiujemy warunkową wartość oczekiwaną

D^{2}(X|F) = E((X − E(X|F))^{2}|F).

Pokazać, że D^{2}(X) = E(D^{2}(X|F)) + D^{2}(E(X|F)).

Zad 7 Niech Ω = [0, 1] × [0, 1], P - miara Lebesgue’a na [0, 1] × [0, 1]. Znaleźć E(f|F), jeśli

1. f(x, y) = x, F jest σ-ciałem generowanym przez y;

2. f(x, y) = x − y, F jest σ-ciałem generowanym przez x + y;

3. f(x, y) = x^{2}y, F jest σ-ciałem generowanym przez y.

Zad 8 X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej. Wyznaczyć E(X|X + Y).

Zad 9 Niech X_{1}, X_{2}, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, E|X_{1}| < ∞. Wyznaczyć E(X_{1}|F_{n}), E(∑_{i=1}^{n} a_{i}X_{i}|F_{n}), gdzie

S_{n} = X_{1} + ... + X_{n}, F_{n} = σ(S_{n}, S_{n+1}, ...), ∑_{i=1}^{n} a_{i} = 1.

Zad 10 Znaleźć rozkład warunkowy X pod warunkiem X + Y = t, jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie: a) N (0, λ^{2}), b) wykładniczym z parametrem λ, c) Poissona z parametrem λ.

Zad 11 Udowodnić (nie korzystając z gęstości warunkowych), że jeśli X, Y ma rozkład normalny o średniej 0, to

E(X|Y) = \frac{EXY}{EY^{2}} Y.