Zadania z RP1. Seria 1. Definicja Prawdopodobieństwa

Paradoksy Kawalera de Mere jako przykład, że trzeba podać Ścisłą definicję prawdopdobieństwa i umieć wybrać dobry opis zjawiska. Zad 1 Przy rzucie trzema kostakami sumę 11 i 12 oczek można otrzymać na tyle samo sposobów. Dlaczego częściej wypada suma 11? Zad 2 Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostakami, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach dwiema kostkami? Do zdefiniowania prawdopodobieństwa potrzeba trójki: (Ω, F, P). Aksjomaty dla F: F ≠ ∅

1. Jeśli A ∈ F, to A′ ∈ F;

2. Jeśli A_{i} ∈ F dla i = 1, 2, ..., to ⋃_{i=1}^{∞} A_{i} ∈ F. Zad 3 Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia:

1. zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C;

2. zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A, B, C;

3. zachodzą co najmniej dwa spośród zdarzeń A, B, C. Zad 4 Pokazać, że A ∪ B ∪ C = (A′ ∩ B′ ∩ C′)′, A ∩ B ∩ C = (A′ ∪ B′ ∪ C′)′. Zad 5 Które z poniższych równości są spełnone dla dowolnych A, B, C:

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C;

2. A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C). Zad 6 Ile jest wszystkich możliwych σ-ciał, jeśli Ω ma n elementów? Aksjomaty dla P : F → ℝ_{+}

1. P(Ω) = 1;

2. Jeśli A_{i} ∈ F dla i = 1, 2, ..., oraz A_{i} ∩ A_{j} = ∅ dla i ≠ j, to P(⋃_{i=1}^{∞} A_{i}) = ∑_{i=1}^{∞} P(A_{i}). Zad 7 Udowodnić, że

1. P(∅) = 0;

2. Jesli A_{1}, A_{2}, ..., A_{n} są parami rozłączne, to P(⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = ∑_{i=1}^{n} P(A_{i}) (skończona addytywność);

3. P(A′) = 1 − P(A);

4. Jeśli A ⊂ B, to P(B\A) = P(B) − P(A) oraz P(A) ⩽ P(B);

5. P(A) ⩽ 1;

6. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Zad 8 Udowodnij wzór włączeń i wyłączeń w wersji dla trzech zbiorów: A, B, C

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C). Zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie 1 Wzór włączeń i wyłączeń

P(A_{1} ∪ ... ∪ A_{n}) = ∑_{1⩽i⩽n} P(A_{i}) − ∑_{1⩽i_{1}<i_{2}⩽n} P(A_{i_{1}} ∩ A_{i_{2}}) + ... + (−1)^{n+1}P(A_{1} ∩ ... ∩ A_{n}).

Zadania dotyczące własności funkcji prawdopodobieństwa. Zad 9 Udowodnić, że P(A_{1} ∪ ... ∪ A_{n}) ⩽ P(A_{1}) + ... + P(A_{n}). Zad 10 Udowodnić, że max{P(A), P(B)} ⩾ P(A ∪ B) ⩾ P(A) + P (B) − 1. Zad 11 Dane są P (A′) = \frac{1}{3}, P (A ∩ B) = \frac{1}{4} i P (A ∪ B) = \frac{2}{3}. Obliczyć P(B′), P(A ∩ B′). Zad 12 Mamy zdarzenia A_{i} 1 ⩽ i ⩽ n. Wiemy, że jedno z nich zachodzi i nie zachodzą jednocześnie więcej niż dwa zdarzenia. Ponadto P(A_{i}) = p, P(A_{i} ∩ A_{j}) = q i ≠ j. Pokaż, że p ⩾ 1/n, q ⩽ 2/n. Zad 13 Niech A_{k} będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez k. Wykazać, że ℕ nie istnieje takie p-stwo P, że P(A_{k}) = 1/k dla k ⩾ 1.

2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli Ω jest zbiorem skończonym i składa się z równoprawdopodobnych zdarzeń, to P(A) = |A|/|Ω|. Zad 14 Jaka jest szansa otrzymania pięciu pików w grze w brydża? Wyrzucenia trzech orłów w siedmiu rzutach monetą. Zad 15 Rzucono trzema rozróżnialnymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzech oczek na co najmniej jednej z nich, jeśli suma wyrzuconych oczek wynosi 10? Zad 16 Rzucamy dwiema kostkami. Obliczyć prawdopobieństwo, że iloczyn liczb uzyskanych na kostkach jest liczbą parzystą. Zad 17 Z urny zawierającej n białych i n czarnych kul pobieramy losowo parzystą liczbę kul (próbki są jednakowo prawdopodobne). Znależć prawdopodobieństwo, że wśród wyjętych kul będzie równa liczba kul czarnych i białych. Zad 18 Ustawiamy 10 dziewczyn i 3 chłopców w okręgu. Jakie jest p-stwo, że chłopcy nie siedzą obok siebie? Zad 19 Mamy 5 różnych kart. Losujemy ze zwracaniem 6. Jakie jest prawdopdobieństwo, że wylosujemy 3 różne karty. Zadania ciekawsze jako przykład zastosowań prawdopodobieństwa Zad 20 Losujemy dwa punkty z odcinka. Jakie jest p-stwo, że z usykanych odcinków można zbudować trójkąt. Zad 21 Z jeziora wyłowiono 200 ryb, oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb, a wśród nich było 8 oznakowanych. Za rozsądną ocenę liczby ryb w jeziorze mozna uznać liczbę ryb, dla której zrealizowalo się zdarzenie o największym prawdopodobieństwie. Jaka to liczba? Zad 22 Na zajęcia przychodzi n osób. Jaka jest szansa, że w tej grupie dwie osoby urodziły się tego samego dnia? Ile musi być w grupie osób, żeby to prawdopodobieństwo przekroczyło \frac{1}{2}.