Zadania z PS2. Seria 9. Równania stochastyczne.

Zad. 1 Ogólna postać rówanania liniowego. Niech A(t) będzie macierzą m × m, σ(t) - macierzą m × d i a(t) ∈ ℝ^{m}, t ∈ [0, T], T < ∞. Zakładamy, że A, σ, a są ograniczone i ciągłe (wystarcza mierzalność). Niech ξ będzie zmienną w ℝ^{m} niezależną od W - procesu Wienera w ℝ^{d} Niech δ(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania

δ̇(t) = A(t)δ(t), δ(0) = I.

1. Pokaż, że ξ(t) = δ(t)(ξ + ∫_{0}^{t} δ^{−1}(s)a(s)ds) jest jedynym rozwiązaniem równania

ξ̇(t) = A(t)ξ(t) + a(t), ξ(0) = ξ.

2. Pokaż, że X(t) = δ(t)(ξ + ∫_{0}^{t} δ^{−1}(s)a(s)ds + ∫_{0}^{t} δ^{−1}(s)σ(s)dW_{s}) jest jedynym rozwiązaniem rów-

nania

dX_{t} = (A(t)X_{t} + a(t))dt + σ(t)dW_{t}, X_{0} = ξ.

Zad. 2 Rozważmy równanie dX_{t} = b(X_{t})dt + σ(X_{t})dW_{t}, X_{0} = X. Zakładamy, że

1. b(x), σ(x) są mierzalne, ograniczone na zbiorze ograniczonym;

2. W proces Wienera w ℝ^{d}, X_{0} = x, X_{t} rowiązanie równania;

3. D jest zbiorem otwartym w ℝ^{d}, x ∈ D;

4. definiujemy moment zatrzymania τ = inf{t : X_{t} ≠ D}

Definiujemy operator

Lf(x) = ∑_{j=1}^{d} b_{j}(x)\frac{∂f}{∂x_{j}} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{d} φ_{i,j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} ,

gdzie φ = σσ^{∗}. Pokazać, że jeśli istnieje zbiór otwarty D′ ⊃ \overline{D}, funkcja f ⩾ 0 klasy C^{2} w D′ oraz liczba c > 0 taka, że Lf ⩽ −c w D, to Eτ < ∞. Wskazówka Założyć, że D jest ograniczony. Zad. 3 Niech spełnione będą założenia (1-4) z poprzedniego zadania. Jeśli istnieje R takie, że |y_{1}| < R dla każdego y ∈ D, a_{11}(y) - ściśle oddzielone od 0 (a_{11}(y) ⩾ α > 0) dla y = (Y_{1}, ..., y_{d}), b_{1} ograniczone w D, to Eτ < ∞. Wskazówka Rozważyć f(y) = cosh(rR) − cosh(ry_{1}) dla odpowiedniego r > 0. Zad. 4 Rozważmy proces Wienera W w ℝ^{2}. Niech zbiór D będzie wyznaczony przez kąt o wartości α (przeciwnie do wskazówek zegara, jednym ramieniem jest półprosta (0, 0) → (∞, 0)). Definiujemy proces X_{t} = W_{t} + x, x ∈ D. Pokaż, że

1. jeśli α < \frac{π}{2} , to Eτ < ∞ dla x ∈ D;

2. jeśli α ⩾ \frac{π}{2} , to Eτ = ∞ dla x ∈ D.

Wskazówka Rozpatrzeć f równe we współrzędnych beigunowych (r, φ), r^{2} sin(ρ(α + ε − φ)) dla ρ, ε > 0. Skorzystać ze wzoru na gęstość rozkładu czasu dojścia do punktu dla procesu Wienera w ℝ.