Zadania z PS2. Seria 8. Wzór Ito.

Zad. 1 Niech W będzie procesem Wienera w ℝ^{2}, a ≠ 0. Pokazać, że z P = 1 W dochodzi do każdego otoczenia a ale z P = 0 do punktu a. Wskazówka Rozważyć funkcję h(x) = − ln |x − a|, τ_{n}- jak w przypadku d > 2. Zad. 2 Sformułować i udowodnić charakteryzację procesu W = (W_{1}, ..., W_{d}) w terminach martyngałów eksponencjalnych (analogiczną do jednowymiarowej - patrz notatki). Zad. 3 Niech X będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnego m ⩾ 1

E ∫_{0}^{T} X^{2m}(s)ds < ∞.

Rzecz jasna X ∈ L_{T}^{2} . Niech M = ∫ XdW. Udowodnić, że

EM_{T}^{2m} ⩽ (m(2m − 1))^{m}T^{m−1}E ∫_{0}^{T} X_{s}^{2m}ds.

Wskazówka Wykorzystać wzór Ito, lokalizację i nierówność Holdera. Zad. 4 Niech M ∈ M_{T,loc}^{2,c}, T ⩽ ∞. Pokazać, że

1. Jeśli {⟨M⟩_{T} < ∞} p.n., to istnieje skończona granica lim_{t→T} M_{t}.

2. Jeśli {⟨M⟩_{T} = ∞} p.n., to lim sup_{t→T} M_{t} = ∞, lim inf_{t→T} M_{t} = −∞.

Zad. ∗ Udowodnić nierówność Burkoldera, Davisa, Gundy’ego. Niech M ∈ M_{loc}^{2,c}, M_{0} = 0. Pokazać, że dla każdego p > 0 istnieją stałe c_{p}, C_{p} takie, że

c_{p}E⟨M⟩_{T}^{p/2} ⩽ E sup_{t⩽T} |M_{t}|^{p} ⩽ C_{p}E⟨M⟩_{T}^{p/2}.