Zadania z PS2. Seria 7. Wzór Ito.

Zad. 1 Rozważmy proces Y zadany wzorem Y (t) = e^{−λt}W (\frac{e^{2λt}}{2λ}), gdzie W jest standardowym ruchem Browna. Ogólnie procesem O-U nazywamy X_{t} = e^{−λt}ξ + Y_{t}, gdzie ξ = lim_{t→∞} Y_{t}. Udowodnij, że

dX_{t} = −λX_{t}dt + dW_{t},

to znaczy X_{t} = X_{0} − λ ∫_{0}^{t} X_{s}ds + W_{t}.

Zad. 2 Niech λ ∈ ℝ, Z_{t}^{(λ)} = e^{λW_{t}− \frac{λ^{2}t}{2}} . Pokazać, że

dZ^{(λ)} = λZ_{t}^{(λ)}dW_{t},

to znaczy Z_{t}^{(λ)} = 1 + ∫_{0}^{t} Z_{s}^{(λ)}dW_{s}. Zad. 3 Rozważmy funkcję h : ℝ^{d} → ℝ klasy C^{2}, zbiór G ⊂ ℝ^{d}- otwarty. Niech h będzie funkcją harmoniczną w G, a W procesem Wienera w ℝ^{d} startującym z 0. Niech x ∈ G, τ = inf{t : W_{t+x} ∉ G}. Pokazać, że h(W_{t∧τ} + x) jest martyngałem. Zad. 4 Niech W będzie procesem Wienera w ℝ^{3}, a ∈ ℝ^{3}\\{0\}, F_{t} = F_{t}^{W}. Pokazać, że X_{t} = \frac{1}{|W_{t}−a|} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. W tym celu należy udowodnić:

• h(x) = \frac{1}{|x−a|} jest harmoniczna;

• rozważyć ciąg m.z. τ_{n} = inf\{t : |W_{t} − a| ⩾ \frac{1}{n}\}

Zad. 5 Udowodnić wielowymiarową wersję twierdzenia Levy’ego. Niech M_{j}(0) = 0, j = 1, 2, ..., d. Proces (M_{1}, ..., M_{d}) jest procesem Wienera w ℝ^{d} ⇔ ⟨M_{k}, M_{j}⟩ = δ_{k,j}t, k, j = 1, ..., d