Zadania z PS2. Seria 6. Całkowanie przez części.

Zad. 1 Martyngał lokalny, który nie jest martngałem.

1. Pokaż, że martyngał lokalny ⩾ 0 jest nadmartyngałem.

2. Zauważ, że proces M_{t} = \frac{1}{|W_{t}−a|} dla a ≠ 0 jest martyngałem lokalnym, ale nie martyngałem. Zad. 2 Niech Z ∈ M^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2} (Z). Definiujemy M = ∫ XdZ. Pokaż, że dla każdego Y lokalnie ograniczonego (to znaczy istnieje ciąg τ_{n} ↗ T taki, że Y^{τ_{n}} − Y_{0} jest ograniczony) dostajemy równość

∫ Y dM = ∫ XY dZ.

Wskazówka Zdefiniować moment zatrzymania

σ_{n} = \{ \begin{matrix}0 & |Y_{0}| > n \\ T & |Y_{0}| ⩽ n \end{matrix}

Zad. 3 Obliczyć ∫_{0}^{t} W_{s}^{2}dW_{s}. Zad. 4 Znaleźć rozkłady skończenie wymiarowe procesu Y_{t} = ∫_{0}^{t} e^{−α(t−s)}dW_{s}, gdzie α > 0.

1. Pokaż, że Y_{t} są zbieżne wg. rozkładu, gdy t → ∞

2. Niech ξ będzie zmienną losową zdefiniowaną w punkcie 2 (granica procesu Y_{t}). Pokaż, że proces

e^{−αt}ξ + ∫_{0}^{t} e^{−α(t−s)}dW_{s}

jest procesem stacjonarnym i znaleźć jego rozkłady skończenie wymiarowe. Zad. 5 Definujemy wielowymiarowy proces Wienera (o wartościach w ℝ^{d}) W = (W_{1}, ..., W_{d}), gdzie d ∈ ℕ, a procesy W_{i} są niezależne. Definujemy filtrację F_{t} = \overline{F_{t}^{W}} - uzupełnienie filtracji pochodzącej od procesu. Pokazać, że ⟨W_{i}, W_{j}⟩(t) = δ_{i,j}t to znaczy t kiedy i = j i 0 kiedy i ≠ j.