Zadania z PS2. Seria 5. Proces wariacji kwadratowej.

Zad. 1 Niech M ∈ M^{2,c}, a ⟨M⟩ będzie procesem rosnącym takim, że ⟨M⟩_{0} = 0, M^{2} − ⟨M⟩ jest martyngałem. Wówczas

1. ⟨M⟩ jest jednoznacznie wyznaczony;

2. dla dowolnego τ ⟨M^{τ} ⟩ = ⟨M⟩^{τ}

Zad. 2 Niech A_{k} ∈ F_{k}, n, k = 1, 2, ..., A_{k} ↗ Ω, 1_{A_{k}}ξ_{n} jest zbieżny według prawdopodobieństwa. Wówczas (ξ_{n}) musi być zbieżny wedłu prawdopodobieństwa. Zad. 3 Niech ξ_{n} ⩾ 0 będą zmiennymi losowymi takimi, że ξ_{n} →^{P} ξ, Eξ_{n} = Eξ. Pokaż, że ξ_{n} → ξ w L^{1}(Ω). Zad. 4 Niech M, M′ ∈ M^{2,c}, M_{0} = 0 = M′_{0}. Udowodnij, że

E|V_{n}(M, t) − V_{n}(M′, t)| ⩽ ∥M − M′∥^{2} + 2∥M∥∥M − M′∥

Zad. 5 Niech M ∈ M^{2,c}, X ∈ Λ_{T}^{2} (M), τ-moment zatrzymania. Pokaż, że X ∈ Λ_{T}^{2} (M^{τ}) (tzn. ∫_{0}^{t} X_{s}^{2}d⟨M^{τ} ⟩ < ∞ p.n.) oraz

∫ XdM^{τ} = (∫ XdM)^{τ} .