Zadania z PS2. Seria 4. Zatrzymywanie całki stochastycznej.

Zad. 1 Niech τ będzie momentem stopu takim, że Eτ < ∞. Pokaż, że 1_{[0,τ]} ∈ L_{[0,∞]}^{2} oraz W_{τ} = ∫_{0}^{∞} 1_{[0,τ]}(s)dW_{s}. Udowodnij wzory EW_{τ} = 0, EW_{τ}^{2} = Eτ. Zad. 2 Niech α, β > 0, τ = inf\{t : |W_{t}| = α\sqrt{β + t}\}. Pokazać, że Eτ < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy α < 1. Jeśli Eτ < ∞, to Eτ = \frac{α^{2}β}{1−α^{2}} Zad. 3 Niech M będzie procesem adaptowalnym prawostronnie ciągłym M_{0} = 0, E|M_{t}| < ∞ dla t ⩽ T. Udowodnij, że M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego moementu stopu τ ograniczonego, EM_{τ} = 0. Zad. 4 Niech X ∈ Λ_{T}^{2} , t_{1} < t_{2} ⩽ T. Dla dowolnej zmiennej losowej ξ F_{t_{1}}-mierzalną zachodzi ξ1_{(t_{1},t_{2}]} ∈ Λ_{T}^{2} i ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ξXdW = ξ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} XdW.