Zadania z PS2. Seria 3. Miary stochastyczne.

Zad. 1 Pokaż, że jeśli X jest przestrzenią liniowo-topologiczną, która ma przeliczalną bazę otoczeń zera, to istnieje funkcja ∥ · ∥ taka, że

1. x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∥x∥ = 0;

2. ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥;

3. ∥αx∥ ⩽ ∥x∥ dla |α| ⩽ 1.

W szczególności d(x, y) = ∥x − y∥ zadaje metrykę niezmienniczą na X. Pokaż, że jeśli topologia X jest zadana przez pewną metrykę niezmienniczą, to X ma przeliczalną bazę otoczeń zera.

Definicja 1 Przestrzeń X nazywamy F -przestrzenią jeśli jest zupełna względem pewnej metryki niezmienniczej.

Zad. 2 Pokaż, że jeśli d_{1}, d_{2} są metrykami niezmienniczymi na przestrzeni liniowej X, to d_{1} jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy d_{2} jest zupełna.

Definicja 2 Zbiór E nazywamy ograniczonym w X wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego otoczenia zera U istnieje t < ∞ takie, że E ⊂ tU. Przestrzeń X nazywamy quasi-Banacha jeśli jest F -przestrzenią która ma ograniczone otoczenie zera.

Zad. (∗) Udowodnij, że X jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukłą przestrzenią quasi-Banacha. Zad. 3 Pokaż, że

1. L_{0}(Ω, F, P) jest F -przestrzenią;

2. L_{p}(Ω, F, P) jest przestrzenią quasi-Banacha dla 0 < p < 1;

3. L_{p}(Ω, F, P) jest przestrzenią Banacha dla p ⩾ 1.

Zad. 4 Niech F będzie pewnym σ-ciałem. Pokaż, że funkcja A → 1_{A} jest miarą stochastyczną. Zad. 5 Niech f będzie funkcją typu cadlag (lewostronne granice, prawostronna ciągłość), która ma wahanie skończone oraz lim_{x→−∞} f(x) = 0. Udowodnij, że istnieje borelowska miara rzeczywista μ na ℝ taka, że

μ((−∞, x]) = f(x) oraz V_{f}(x) = |μ|((−∞, x]).

Zauważ, że |μ| jest miarą kontrolną dla μ. Zad. 6 Niech X_{t}, t ∈ ℝ_{+} będzie procesem cadlag (lewostronne granice, prawostronna ciągłość), którego trajektorie mają p.n. wahanie skończone. Pokaż, że funkcja addytywna, zadana wzorem m̄([0, t]) = X_{t} rozszerza się do miary stochastycznej (o wartościach w L_{0}(Ω, F, P)). Zad. 7 Jeśli (M_{t})_{t∈[0,T]} jest martyngałem ciągłym, całkowalnym z kwadratem, wówczas funkcja addytywna zadana wzorem m̄([0, t]) = M_{t} roszszerza się do miary stochastycznej o wartościach w L_{2}(Ω, F, P).

Zad. 8 Udowodnij, że dla każdej f ∈ L^{2}[0, T] zachodzi równość ∫_{0}^{t} f(s)dW_{s} = ∫_{0}^{t} f(s)m_{W} (ds). To znaczy całka Ito jest całką wzlędem miary stochastycznej dla procesu Wienera.