Zadania z PS2. Seria 2. Całka stochastyczna Ito.

Definicja 1 Klasę procesów X prognozowalnych i takich, że E ∫_{0}^{T} X_{s}^{2}ds < ∞ oznaczamy przez L_{T}^{2} . Dla takich procesów dobrze określona jest całka stochastyczna ∫ XdW.

Zad. 1 Niech X ∈ L_{T}^{2} , t_{1} < t_{2} ⩽ T. Niech ξ będzie zmienną losową ograniczoną F_{t_{1}} mierzalną. Pokaż, że ξX1_{(t_{1},t_{2}]} ∈ L_{T}^{2} . Zad. 2 Uogólnienie procesów elementarnych. Niech 0 ⩽ t_{0} < t_{1}... < t_{m}, ξ_{k} - F_{t_{k}} mierzalne ξ_{k} ∈ L^{2}(Ω). Definujemy

X_{t} = ∑_{k=0}^{m−1} ξ_{k}1_{(t_{k},t_{k+1}]}(t)

Dla procesów X ∈ L_{T}^{2} zachodzi równość

∫_{0}^{t} XdW = ∑_{k=0}^{m−1} ξ_{k}(W_{t_{k+1}∧t} − W_{t_{k}∧t}).

Zad. 3 Jeśli X jest prognozowalny i ciągły w L^{2} (tzn. [0, T] ∋ t → X_{t} ∈ L^{2}(Ω) jest ciągła), to X ∈ L_{T}^{2} i dla każdego ciągu (t_{k,n})_{n=1}^{∞} podziałów normalnych

∑_{k=0}^{m_{n}−1} X_{t_{k},n}(W_{t_{k+1,n}∧t} − W_{t_{k,n}∧t}) →^{L^{2}} ∫_{0}^{t} XdW.

Czyli całka stochastyczna Ito jest uogólnieniem całki Wienera. Zad. 4 Obliczyć

1. Obliczyć ∫_{0}^{t} W_{s}dW_{s} dla t ∈ [0, T].

2. Niech (t_{k,n})_{n=1}^{∞} będzie ciągiem podziałów normalnych odcinka [0, 1]. Obliczyć granicę w L^{2}(Ω)

∑_{k=0}^{m_{n}−1} W_{t_{k},n}(W_{t_{k+1,n}} − W_{t_{k,n}}).

Zad. 5 Niech h ∈ L^{2}[0, T]. Definiujemy M_{t} = ∫_{0}^{t} hdW. Pokaż, że M_{t} jest procesem gaussowskim i policz funkcję kowaraincji. Zad. 6 (Most Browna). Pokaż, że proces zadany na odcinku [0, 1] za pomocą całki stochastycznej

Y_{t} := \{ \begin{matrix}(1 − t) ∫_{0}^{t} \frac{1}{1−s}dW_{s} & 0 ⩽ t < 1 \\ 0 & t = 1 \end{matrix}

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe jak Z_{t} = W_{t} − tW_{1}