Zadania z RP2. Seria 13. Twierdzenie Girsanowa.

Zad 1. Niech μ będzie miarą Wienera na C[0, 1]. Dla dowolnego h ∈ C[0, 1] definiujemy μ_{h}(·) = μ(·+h). Pokazać, że jeśli h(t) = ∫_{0}^{t} g(s)ds dla pewnego g ∈ L^{2}[0, 1], to μ_{h} jest aboslutnie ciągła wg. μ i znaleźć gęstość. Zad ∗. Jeśli h ∈ C[0, 1] nie ma postaci z Zad 1., to μ_{h} i μ są singularne wzajemnie. Zad 2. (Całka Stratonowicza). Niech Z = Z_{0} + M + A, Y = Y_{0} + N + B -ciągłe semimartyngały, M, N ∈ M_{loc}^{2,c}, A, B ∈ V. Definiujemy

∫_{0}^{t} Y_{s} ∘ dZ_{s} = ∫_{0}^{t} Y_{s}dZ_{s} + \frac{1}{2}⟨M, N⟩.

Udowodnij, że jeśli f : ℝ → ℝ jest klasy C^{3}, to

f(Z_{t}) = f(Z_{0}) + ∫_{0}^{t} f′(Z_{s}) ∘ dZ_{s}.

Zad 3. Niech Y, Z będą jak wyżej. Pokazać, że jeśli dla każdego ciągu podziałów normalnych

0 = t_{0,n} < t_{1,n} < ... < t_{m_{n},n} = t, lim_{n→∞} max_{j}(t_{j+1,n} − t_{j,n}) = 0.

Pokaż, że

∑_{j=0}^{m_{n}−1} \frac{1}{2}(Y_{t_{j,n}} + Y_{t_{j+1,n}})(Z_{t_{j+1,n}} − Z_{t_{j,n}}) → ∫_{0}^{t} Y ∘ dZ_{s}.

Zad 4. Pokaż, że jeśli P jest rozwiązaniem problemu martyngałowego (x, a, b), to

N_{t} = Z_{t} − x − ∫_{0}^{t} b(s, Z_{s})ds

jest martyngałem takim, że

⟨N⟩_{t} = ∫_{0}^{t} a(s, Z_{s})ds.