Zadania z PS2. Seria 12. Procesy Levy’ego

Zad. 1 Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Procesem Levy’ego nazywamy proces X określony na (Ω, F, P) i wartościach w ℝ^{d} który spełnia dwa warunki

1. (niezależność przyrostów) przyrost X_{s+t} − X_{t} jest niezależny od procesu (X_{u}, 0 ⩽ u ⩽ t)

2. (jednorodność przyrostów) rozkład X_{s+t} − X_{t} jest taki sam jak zmiennej X_{s}.

Pokaż, że zmienna X_{1} jest nieskończenie podzielna. (To znaczy dla dowolnego N, istnieją Y_{1}, ..., Y_{N} i.i.d. takie, że X_{1} = Y_{1} + ... + Y_{N}). Pokaż, że funkcja charakterystyczna X_{t} jest postaci

E exp(i⟨λ, X_{t}⟩) = exp(−tΨ(λ)),

gdzie funkcję Ψ : ℝ^{d} → ℂ nazywamy wykładnikiem charakterystycznym. Zad. 2 Pokaż, że procesy Levy’ego o tym samym wykładniku charakterystycznym mają identyczne rozkłady skończenie wymiarowe. Znajdź proces którego wykładnik charakterystyczny jest równy Ψ(λ) = c(1 − e^{iλ}) (d = 1), oraz Ψ(λ) = \frac{1}{2}|λ|^{2} (d-dowolne). Zad ∗ (Formuła Levy’ego-Chinczyna). Funkcja Ψ : ℝ^{d} → ℂ jest wykładnikiem charakterystycznym rozkładu nieskończenie podzielnego na ℝ^{d} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a ∈ ℝ^{d}, Q forma kwadratowa dodatnio określona na ℝ^{d} oraz miara Π na ℝ^{d}\{0} spełniająca warunek ∫ (1 ∧ |x|^{2})Π(dx) < ∞ taka, że

Ψ(λ) = i⟨a, λ⟩ + \frac{1}{2}Q(λ) + ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩} + i⟨λ, x⟩1_{|x|<1})Π(dx),

dla każdego λ ∈ ℝ^{d}. Macierz Q nazywa się współczynnikiem gaussowskim, miarę Π miarą Levy’ego. Zad. 3 Niech ξ_{1}, ξ_{2}, ... będą niezależnymi zmiennymi o tym samym rozkładzie ν na ℝ^{d}\{0}. Definiujemy S_{n} = ξ_{1} + ... + ξ_{n}. Niech N będzie procesem Poissona z parametrem c > 0 niezależnym od ξ_{i}. Pokaż, że

e(t) = \{ \begin{matrix}ξ_{n} & jeśli N_{t−} < n = N_{t} \\ 0 & w.p.p. \end{matrix}

jest punktowym procesem Poissona o mierze charakterystycznej cν, gdzie 0 jest punktem izolowanym Υ. Proces

S_{N_{t}} = ∑_{i=1}^{N_{t}} ξ_{i} = ∑_{0⩽s⩽t} e(s)

nazywamy złożonym procesem Poissona (o mierze charakterystycznej cν). Stosując formułę wykładniczą (Seria 11) pokaż, że wykładnik charakterystyczny złożonego procesu Poissona jest równy

Ψ(λ) = c ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩})ν(dx).

W szczególności można napisać

Ψ(λ) = −ic ∫_{ℝ^{d}}⟨λ, x⟩1_{|x|<1}ν(dx) + ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩} + ic⟨λ, x⟩1_{|x|<1})cν(dx),

co oznacza, że cν jest miarą Levy’ego tego procesu. Zad. 4 Szczególnym przykładem procesów Levy’ego są procesy α-stabilne α ∈ (0, 2], to znaczy procesy których wykładnik charakterystyczny spełnia relacje Ψ(kλ) = k^{α}Ψ(λ) dla każdego k > 0, λ ∈ ℝ^{d}.

Udowodnij, że proces k^{−1/α}X_{kt} ma ten sam rozkład co X_{t} (rozkłady skończenie wymiarowe). Niech α ≠ 2. Pokaż, że miara Levy’ego Π (we współrzędnych sferycznych (r, ϑ)) procesu X ma następującą postać

Π(dr, dϑ) = r^{−α−d}drν(dϑ),

gdzie ν jest pewną miarą skończoną na S^{d−1}. Z założenia ∫ (1 ∧ |x|^{2})Π(dx) < ∞, wywnioskuj stąd, że 0 < α ⩽ 2. Głównym celem zadań Serii 12 jest następujący rezultat.

Twierdzenie 1 Niech a ∈ ℝ^{d}, Q będzie dodatnio określoną formą kwadratową na ℝ^{d}, Π miarą na ℝ^{d}\{0} taką, że ∫ (1 ∧ |x|^{2})Π(dx) < ∞. Dla dowolnego λ ∈ ℝ^{d} definiujemy

Ψ(λ) := i⟨a, λ⟩ + \frac{1}{2}Q(λ) + ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩} + i⟨λ, x⟩1_{|x|<1})Π(dx).

Wówczas istnieje proces Levy’ego X, którego Φ jest wykładnikiem charakterystycznym. Co więcej proces skoków △X = (△X_{t}, t ⩾ 0) (△X_{t} = X_{t} − X_{t−}) jest punktowym procesem Poissona, którego miara charakterystyczna jest równa Π. Miarę Π nazywa się miarą Levy’ego.

W istocie pokażemy więcej. Udowodnimy, że proces Levy’ego X da się skonstruować z trzech niezależnych procesów X^{1}, X^{2}, X^{3}, gdzie X^{1} jest pewnym procesem Gaussowskim (ciągłym!), X^{2} jest złożonym procesem Poissona (o skokach co najmniej 1), a X^{3} punktowym procesem Poissona (o skokach mniejszych od 1), gdzie E = ℝ^{d}\{0}, Υ = 0. Zad. 5 Niech W_{t} będzie d-wymiarowym procesem Wienera, △ = (△_{t}, t ⩾ 0) niezależnym procesem punktowym procesem Poissona o mierze charakterystycznej Π. Niech B będzie macierzą taką, że Q(λ) = ⟨Bλ, Bλ⟩. Pokaż, że proces X_{t}^{1} = BW_{t} − at jest procesem Levy’ego o wykładniku charakterystycznym

Ψ^{1}(λ) = i⟨a, λ⟩ + \frac{1}{2}Q(λ).

Zad. 6 Rozważmy proces

△_{t}^{2} = \{ \begin{matrix}△_{t} & jeśli |△_{t}| ⩾ 1 \\ 0 & w.p.p. \end{matrix}

Pokaż, że △^{2} jest punktowym procesem Poissona o mierze charakterystycznej Π^{2}(dx) = 1_{|x|⩾1}Π(dx). Pokaż, że proces X_{t}^{2} = ∑_{s⩽t} △_{s}^{2}, t ⩾ 0 jest złożonym procesem Poissona. Stosując formułę wykładniczą (Seria 11) udowodnij, że

Ψ^{2}(λ) = ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩})1_{|x|⩾1}Π(dx).

Zad. 8 Definiujemy następujący proces

△_{t}^{3} = \{ \begin{matrix}△_{t} & jeśli |△_{t}| < 1 \\ 0 & w.p.p. \end{matrix}

Korzystając z faktu, że procesy Poissona, które nie skaczą jednocześnie są niezależne (Seria 11) udowodnij, że △^{2} i △^{3} są niezależne. Zad. 9 Niech ε > 0. Definiujemy procesy sum skompensowanych

X_{t}^{ε,3} = ∑_{s⩽t} 1_{ε<|△_{s}|<1}△_{s} − t ∫_{ℝ^{d}} x1_{ε<|x|<1}Π(dx), t ⩾ 0.

Pokaż, że X^{ε,3} jest procesem Levy’ego o wykładniku charakterystycznym

Ψ^{ε,3}(λ) = ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩} + ⟨λ, x⟩)1_{ε<|x|<1}Π(dx).

Zad. 10 Zauważ, że nierówność maksymalna dla sum skompensowanych (Seria 11) implikuje, że dla 0 < η < ε

E(sup_{s⩽t} |X_{s}^{η,3} − X_{t}^{ε,3}|^{2}) ⩽ 4t ∫_{ℝ^{d}} |x|^{2}1_{η<|x|<ε}Π(dx).

Korzystając z tego faktu, pokaż, że X^{ε,3} zbiega do granicy X^{3} w sensie normy

∥Y ∥ = E(sup_{s⩽t} |Y_{s}|^{2})^{1/2}.

Zauważ, że X^{3} jest procesem Levy’ego o wykładniku charakterystycznym

Ψ^{3}(λ) = ∫_{ℝ^{d}}(1 − e^{i⟨λ,x⟩} + ⟨λ, x⟩)1_{|x|<1}Π(dx).

Zad. 11 Zauważ, że X^{3} jest niezależne od X^{2} (bo X^{3} jest mierzalne względem σ-ciała generowanego przez △^{3}). Pokaż, że proces X = X^{1} + X^{2} + X^{3} jest procesem Levy’ego o zadanym wykładniku charakterystycznym Ψ = Ψ^{1} + Ψ^{2} + Ψ^{3}. Zad. 12 Zauważ, że rozkład procesu Levy’ego X o zadanym wykładniku charakterystycznym na proces proces gaussowski, złożony proces Poissona o skokach co najmniej 1 oraz punktowy proces Poissona o skokach mniejszych niż 1 jest jednoznaczny.