Zadania z PS2. Seria 11. Procesy Levy’ego.

Proces Poissona Zad. 1 Niech τ_{1}, ..., τ_{n} będzie ciągiem zmiennych niezależnych o rozkładzie wykładniczym z parametrem c. Znajdź rozkład S_{m} = τ_{1} + ... + τ_{n}, n ∈ ℕ. Znajdź rozkład N_{t} := sup{n ∈ ℕ : S_{n} ⩽ t}. Proces N_{t} nazywamy procesem Poissona z parametrem c. Zad. 2 Oblicz funkcję charakterystyczną N_{t}. Pokaż, że N_{t} ma własność braku pamięci. To znaczy dla 0 ⩽ s ⩽ t przyrost N_{t+s} − N_{s} ma rozkład Poissona z parametrem cs i jest niezależny od σ(N_{u} : u ⩽ s). Zad. 3 Niech N_{t} będzie procesem Poissona z parametrem c (względem filtracji naturalnej F_{t}). Niech H będzie procesem prognozowalnym.

1. Załóżmy, że E(∫_{0}^{t} |H_{s}|ds) < ∞, dla t ⩾ 0. Pokazać, że następująca całka skompensowana jest martyngałem (wg. F_{t})

M_{t} = ∫_{0}^{t} H_{s}dN_{s} − c ∫_{0}^{t} H_{s}ds.

2. Załóżmy, że E(∫_{0}^{t} H_{s}^{2}ds) < ∞, dla t ⩾ 0. Pokazać, że

M_{t}^{2} − c ∫_{0}^{t} H_{s}^{2}ds, dla t ⩾ 0

jest martyngałem wg F_{t}.

3. Załóżmy, że H jest ograniczony, wówczas martyngałem jest

exp(∫_{0}^{t} H_{s}dN_{s} + c ∫_{0}^{t}(1 − e^{H_{s}})ds), dla t ⩾ 0.

Zad. 4 Niech N^{(i)}, i = 1, 2, ..., d będą procesami Poissona (wg. F_{t}). Pokazać, że są one niezależne wtedy i tylko wtedy jeśli nigdy nie skaczą jednocześnie. To znaczy z P = 1 dla dowolnych i ≠ j

N_{t}^{(i)} − N_{t−}^{(i)} = 0 lub N_{t}^{(j)} − N_{t−}^{(j)} = 0, dla t > 0.

Punktowy proces Poissona Zad. 5 Niech E będzie przestrzenią polską, ν miarą σ-skończoną na E. Miarą Poissonowską nazywamy miarę losową φ : B(E) → L_{0}(E) (przypisującą zbiorom borelowskim, zmienne losowe - patrz wykład!), spełniającą dwa warunki:

1. Dla każdego B ⊂ E takiego, że ν(B) < ∞ zmienna losowa φ(B) ma rozkład Poissona z parametrem ν(B).

2. Dla dowolnych zbiorów rozłącznych B_{1}, ..., B_{n} zmienne φ(B_{1}), ..., φ(B_{n}) są niezależne

Miarę ν nazywamy miarą intensywności. Niech ℝ_{+} = [0, ∞), ν = c| · |, gdzie | · | jest miarą Lebesgue’a. Pokaż, że funkcja zadana na π-układzie w ℝ_{+} wzorem φ((s, t]) := N_{t} − N_{s}, s < t rozszerza się do miary Poissonowskiej.

Zad. 6 Niech E będzie przestrzenią polską, ν miarą dodatnią, skończoną na E, c = ν(E). Niech ξ_{1}, ξ_{2}, ... będzie ciągiem zmiennych niezależnych o tym samym rozkładzie c^{−1}ν, N zmienną losową Poissona niezależną od ξ_{1}, ξ_{2}, .... Pokazać, że

φ := ∑_{i=1}^{N} δ_{ξ_{i}}.

zadaje miarę Poissonowską na E o intensywności ν. Jeśli ν jest σ-skończona, to miarę φ można skonstruować biorąc rozbicie E na zbiory E_{n} takie, że ν(E_{n}) < ∞. Pokaż, że φ = ∑_{n} φ_{n}, gdzie φ_{n} odpowiada mierze intensywność 1_{E_{n}}ν. Zad. 7 Rozważmy przestrzeń produktową E × [0, ∞) z miarą μ = ν ⊗ | · |. Niech φ będzie miarą Poissonowską φ o intensywności μ. Pokaż, że φ(E × {t}) ∈ {0, 1}, t ⩾ 0. To pozwala wyreprezentować φ jako proces stochastyczny o wartościach w E ∪ {Υ}, gdzie Υ jest izolowanym punktem dodatkowym. Jeśli φ(E × {t}) = 0 kładziemy e(t) = Υ, jeśli φ(E × {t}) = 1, to obcięcie φ do E × {t} jest równe δ_{(ϵ,t)} (dla pewnego ϵ ∈ E), kładziemy e(t) = ϵ. Pokaż, że miara Poissonowska spełnia równość

φ = ∑_{t⩾0} δ_{(e(t),t)}.

Proces e = (e(t), t ⩾ 0) nazywamy punktowym procesem Poissona z miarą charakterystyczną ν. Zad. 8 Dla każdego zbioru B ∈ B(E) proces

N_{t}^{B} := |{s ⩽ t : e(s) ∈ B}| = φ(B × [0, t]), t ⩾ 0

nazywamy procesem liczącym w B. Pokaż, że jest to proces Poissona z parametrem ν(B). Na odwrót przypuśćmy, że e = (e(t), t ⩾ 0) jest procesem o wartościach w E ∪ {Υ} takim, że proces liczący N_{t}^{B} = |s ⩽ t : e(s) ∈ B| jest procesem Poissona z intensywnością ν(B). Pokaż, że procesy liczące N^{B_{1}},...,N^{B_{n}} nigdy nie skaczą wspólnie, jeśli B_{1}, ..., B_{n} są rozłączne, a zatem na mocy Zad. 4, są niezależnymi procesami Poissona. Wywnioskuj stąd, że φ = ∑_{t⩾0} δ_{(e(t),t)} jest miarą Poissona z intensywnością μ. Zad. 9 Niech e będzie punktowym procesem Poissona. Niech B będzie zbiorem borelowskim takim, że 0 < ν(B) < ∞. Pokazać, że czas pierwszego dojścia e do B, T_{B} := inf{t ⩾ 0 : e(t) ∈ B} jest m.z., a ponadto

1. T_{B} ma rozkład wykładniczy z parametrem ν(B).

2. zmienna losowa e(T_{B}) jest niezależna od T_{B} i ma rozkład ν(·|B) to znaczy dla każdego A ∈ B(E)

P(e(T_{B}) ∈ A) = \frac{ν(A ∩ B)}{ν(B)}.

3. proces e′ zadany wzorem e′(t) = Υ jeśli e(t) ∈ B oraz e′(t) = e(t) jeśli e(t) ∋ B jest punktowym procesem Poissona o mierze charakterystycznej 1_{B^{c}}ν niezależnym od T_{B}, e(T_{B}).

Proces (e(t), 0 ⩽ t ⩽ T_{B}) jest nazywany procesem zatrzymanym przy pierwszej wizycie w B. Zad. 10 (Formuła kompensacyjna). Niech H będzie procesem prognozowalnym o wartościach w dodatnich, mierzalnych funkcjach na E ∪ {Υ} takim, że H_{t}(Υ) = 0 dla t ⩾ 0. Pokaż, że

E(∑_{t⩾0} H_{t}(e(t))) = E(∫_{0}^{∞} ∫_{E} H_{t}(x)ν(dx)dt).

Zad. 11 (Formuła wykładnicza). Niech f będzie zespoloną funkcją Borelowską, na E ∪ {Υ} taką, że f(Υ) = 0 oraz

∫_{E} |1 − e^{f(x)}|ν(dx) < ∞.

Wówczas dla każdego t ⩾ 0

E(exp( ∑_{0⩽s⩽t} f(e(s)))) = exp(−t ∫_{E}(1 − e^{f(x)})ν(dx)).

Zad. 12 (Nierówność maksymalna dla skompensowanych sum). Niech f będzie funkcją Borelowską na E ∪ {Υ} taką, że f(Υ) = 0. Dla każdego T > 0

E sup_{0⩽t⩽T}(| ∑_{0⩽s⩽t} f(e(s)) − t ∫_{E} f(x)ν(dx)|^{2}) ⩽ 4T ∫_{E} f^{2}(x)ν(dx).