Zadania z PS2. Seria 10. Równania stochastyczne

Zad. 1 Pokaż, że jeśli X_{1}, X_{2} są rozwiązaniami równań

X_{1}(t) = ξ_{1} + ∫_{s}^{t} b(X_{1}(u))du + ∫_{s}^{t} σ(X_{1}(u))dW (u), X_{1}(s) = ξ_{1};
X_{2}(t) = ξ_{2} + ∫_{s}^{t} b(X_{2}(u))du + ∫_{s}^{t} σ(X_{2}(u))dW (u), X_{2}(s) = ξ_{2}.

to

E|X_{1}(t) − X_{2}(t)|^{2} ⩽ 3E|ξ_{1} − ξ_{2}|^{2} exp(3K^{2}[(t − s) + (t − s)^{2}]),

gdzie K jest stałą Lipschitza dla b i σ. Zad. 2 Niech (X_{t}, P_{x}) będzie rodziną Markowa. Przypuśćmy, że istnieją stałe T, δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ D mamy P_{x}(τ < T) > δ. Wtedy dla każdego x

P_{x}(τ ⩾ nT) ⩽ (1 − δ)^{n},

n = 0, 1, 2, ... oraz E_{x}τ ⩽ \frac{T}{δ}. Zad. ∗ Niech (X_{t}, P_{x}) będzie fellerowską rodziną Markowa o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Jeżeli D jest zbiorem zwartym i P_{x}(τ < ∞) > 0 dla każdego x ∈ D, to spełnione są założenia zadania 2 i E_{x}τ jest skończone i ograniczone. Zad. 3 Niech D będzie zbiorem ograniczonym, τ- momentem wyjścia z D. Załóżmy, że E_{x}τ < ∞ dla x ∈ D. Załóżmy, że g jest ciągła w D, φ ciągła w ∂D. Przypuśćmy, że funkcja v spełnia równanie

\{ \begin{matrix}Lv(x) = −g(x) & x ∈ D \\ v(x) = φ(x) & x ∈ ∂D \end{matrix}

Niech ponadto v przedłuża się w klasie C^{2} na otwarty zbiór D′ ⊃ \overline{D}. Wówczas

v(x) = E_{x}(φ(X_{τ}) + ∫_{0}^{τ} g(X_{τ})dt).

Zad. 4 Niech (W_{t}, P_{x}) będzie rodziną Markowa jednowymiarowych procesów Wienera i niech τ będziemomentem pierwszego wyjścia procesu W_{t} z przedziału [a, b]. Wykazać, że

P_{x}(W_{τ} = b) = \frac{x − a}{b − a}, E_{x}τ = (b − x)(x − a).

Zad. 5 Rozpatrujemy proces dyfuzji w ℝ o współczynniku dyfuzji σ^{2}(x) > α > 0 dla x ∈ [a, b] oraz współczynniku dryfu b(x). Obliczyć P_{x}(X_{τ} = a) Zad. 6 Obliczyć wartość oczekiwaną momentu wyjścia d wymiarowego procesu Wienera z kuli B(0, R) (dla każdego punktu startowego x wewnątrz kuli). Zad. 7 Niech (W_{t}, P_{x}) będzie rodziną dwuwymiarowych procesów Wienera, niech D będzie pierścieniem zawartym pomiędzy okręgami S(0, r), S(0, R). Niech τ będzie momentem wyjścia z D. Udowodnić, że

P_{x}(W_{τ} ∈ S(0, r)) = \frac{ln R − ln |x|}{ln R − ln r}.

Zad. 8 To samo zadanie w trzech wymiarach (wyjście z pierścienia).