Zadania z PS2. Seria 1. Konstrukcja całki stochastycznej - wstęp.

Definicja 1 Niech T < ∞. Mówimy, że funkcja f : [0, T] → ℝ ma wahanie skończone na [0, T] jeśli

sup ∑_{k=1}^{m} |f(t_{k+1}) − f(t_{k})| < ∞,

gdzie supremum bierzemy po wszystkich podziałach 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{m} = T.

Definicja 2 Powiemy, że (t_{k,n})_{0}^{∞} jest ciągiem podziałów normalnych jeśli 0 = t_{0,n} < t_{1,n} < ... < t_{m_{n},n} = T oraz lim_{n→∞} max_{k}(t_{k+1,n} − t_{k,n}) = 0.

Zad. 1 Niech f ciągła o wahaniu skończonym na [0, T]. Pokaż, że dla każdego δ > 0 i dla każdego ciągu podziałów normalnych (t_{k,n})_{n=1}^{∞} zachodzi

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{m_{n}−1} |f(t_{k+1,n} − f(t_{k,n}))|^{1+δ} = 0.

Zad. 2 Jako wniosek z poprzedniego zadania pokaż, że proces Wienera W_{t} ma wahanie nie skończone na każdym przedziale [0, T]. Zad. 3 Niech M ciągły martyngał, M_{0} = 0. Pokaż, że trajektorie M mają wahanie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy M ≡ 0. Wskazówka. Zauważ, że

M_{t}^{2} = ∑_{k=0}^{m_{n}−1}(M_{t_{k+1},n} − M_{t_{k},n})^{2} + 2 ∑_{k=0}^{m_{n}−1} M_{t_{k},n}(M_{t_{k+1},n} − M_{t_{k},n}).

Definicja 3 Całka Lebesgue’a-Stieltjesa . Niech funkcja h będzie lewostronnie ciągła

∫_{0}^{T} hdf = lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{m_{n}−1} h(t_{k,n})(f(t_{k+1,n}) − f(t_{k,n}))

Zad. 4 Pokaż, że jeśli f ∈ C^{1}([0, T]), to

∫_{0}^{T} hdf = ∫_{0}^{T} h(t)f′(t)dt.

Zad. (∗) Niech f ∈ C([0, 1]), a (t_{k,n})_{n=1}^{∞} będzie ciągiem podziałów normalnych. Jeżeli dla każdej funkcji h ∈ C([0, 1]) istnieje skończona granica

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{m_{n}−1} h(t_{k,n})(f(t_{k+1,n}) − f(t_{k,n})),

to f ma wahanie skończone. Wskazówka. Skorzystaj z twierdzenia Banacha-Steinhausa Definicja 4 Całka Wienera. Niech W_{t}, t ∈ [0, T] będzie procesem Wienera. Niech H będzie klasą funkcji h takich, że h ∈ C^{1}([0, T]) oraz h(T) = 0. Dla każdego h ∈ H definiujemy

I(h) = ∫_{0}^{T} h(t)dW_{t} := − ∫_{0}^{T} h′(t)W_{t}dt.

Zad. 5 Pokaż, że I(h) jest dobrze określoną zmienną losową. Policz EI(h)^{2}. Wywnioskuj, że I : H → L^{2}(Ω) jest izometrią liniową.

Własności Martyngałów z czasem ciągłym

Definicja 5 Rodzina zmiennych X_{i}, i ∈ I nazywa się jednostajnie całkowalną jeśli

lim_{r→∞} sup_{i∈I} E|X_{i}|1_{|X_{i}|⩾r} = 0.

Zad. 6 Rodzina X_{i}, i ∈ I jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

1. sup_{i∈I} E|X_{i}| < ∞

2. dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego P(A) < δ

sup_{i∈I} E|X_{i}|1_{A} < ε.

Zad. 7 Pokaż, że jeśli X ∈ L^{1}(Ω), F_{i}, F_{i} ⊂ F, i ∈ I, to rodzina E(X|F_{i}) jest rodziną jednostajnie całkowalną. Przypomnij charakteryzację zbieżności p.n. i zbieżności w L_{1} martyngałów. Zad. 8 Udowodnij, że jeśli M_{t} jest martyngałem prawostronnie ciągłym, p > 1, to

E(sup_{t} |M_{t}|^{p}) ⩽ (\frac{p}{p − 1})^{p} sup_{t} E|M_{t}|^{p}.