Zadania z EK2. Seria 9. Prognozy

Zad. 1 W wyniku estymacji parametrów modelu ekonometrycznego postaci

y_{t} = α_{0} + α_{1}x_{1,t} + α_{2}x_{2,t} + ε_{t}.

otrzymano następujące wyniki cząstkowe:

(X^{T} X)^{−1} = \{ \begin{matrix}5 & · & · \\ 4 & 3 & 3 \\ 2 & · & 3 \end{matrix} \} , ∑ y_{t} = 12, ∑ x_{1,t}y_{t} = 8, ∑ x_{2,t}y_{t} = 4,

gdzie δ̂^{2} = 0, 0001. Wiedząc, że liczba stopni swobody wynosiła 8, a zmienne objaśniające przyjmą w prognozowanym okresie odpowiednio wartości 36 i 18:

• oszacuj parametry strukturalne modelu,

• dokonaj prognozy zmiennej objaśnianej

• wyznacz błąd ex ante

Zad 2. Wyznacz prognozę zmiennej objaśnianej na rok 2003, jeżeli w wyniku estymacji parametrów modelu (próba roczna 1991 − 2002): y_{t} = α_{0} + α_{1}X_{t} + ε_{t} otrzymano następujące rezultaty cząstkowe:

X^{T} y = \{ \begin{matrix}40 \\ 66 \end{matrix} \} , X^{T} X = \{ \begin{matrix}12 & 20 \\ 20 & 34 \end{matrix} \} , σ̂^{2} \frac{8}{14}.

Należy jednocześnie oczekiwać, że zmienna objaśniająca przyjmie w roku 2003 wartość 1. Wyznacz oczekiwany błąd ex ante tej prognozy. Czy można zaakceptować taką prognozę? Zad 3. Na podstawie 30 obserwacji dokonano estymacji KMNK parametrów następującego modelu ekonometrycznego:

Y_{t} = α_{0} + α_{1}X_{1,t} + α_{2}X_{2,t} + ε_{t}.

• Znajdź α̂_{1} i α̂_{2}, wiedząc, że

α̂_{0} = 10, Ŷ_{20} = 51, Ŷ_{24} = 63, X_{1,20} = 10, X_{2,20} = 7, X_{1,24} = 13, X_{2,24} = 9.

• Wyznacz prognozę zmiennej Y na okres t = 31 wiedząc, że X_{1,31},

Zad. 4 Na podstawie danych kwartalnych za okres 1988.1 − 2002.4 oszacowane parametry strukturalne pewnego modelu otrzymując:

P̂_{t} = 13 + 1, 3K_{t} + 2, 1R_{t}
K̂_{t} = 7 + 0, 3Y_{t−1} + 0, 5X_{t}
Ŷ_{t} = 20 + 0, 6t + 4Z1_{t} − 6, 3Z2_{t} + 1, 3Z3_{t},

gdzie t = 1, 2, ... zmienna czasowa, Z1, Z2, Z3 zmienne 0 − 1 przyjmujące wartość 1 dla odp. kwartału i 0 dla pozostałych okresów. Wyznacz prognozę dla zmiennych Y, K, P na pierwszy kwartał 2003 roku, wiedząc, że X = 20, R = 30.

Zad 5. Dokonaj prognozy wartości zmiennych endogenicznych w 200 roku, jeżeli na podstawie próby 1987 − 1997 otrzymano:

ŷ_{1,t} = −2 + \frac{1}{3}x_{t−2} + \frac{1}{6}y_{3,t}

ŷ_{2,t} = 0, 35 + 0, 25y_{1,t} + \frac{2}{3}y_{3,t}

ŷ_{3,t} = 2 + \frac{20}{19}x_{t−1} + 0, 5y_{3,t−1}

Wiadomo, że w roku 1999 wartości zmiennych endogenicznych y_{1}, y_{2}, y_{3} były równe odpowiednio: 12, 6, 17, 8. Z kolei, kształtowanie się zmiennej egzogenicznej x_{1} w latach 1987 − 1997 można opisać funkcją trendu postaci x_{t} = 3 + 0, 5t, t = −5, ..., 5.