Zadania z EK2. Seria 7. Modele specjalne

Zad. 1 Model nakładów inwestycyjnych ma postać

I_{i} = γ_{0} + β_{0}X_{i} + β_{1}X_{i−1} + ... + β_{8}X_{i−8} + ε_{i},

gdzie X oznacza wartość dodaną i = 9, 10, ..., N. Zakładając, iż schemat opóźnień odpowiada rozkładowi opóźnień DeLeeuwa o kształcie odwróconej litery V ze znormalizowanymi wagami 0, 050, 0, 085, 0, 120, 0, 155, 0, 180, 0, 155, 0, 120, 0, 085, 0, 050, zaproponuj metodę estymacji parametrów. Zad 2. Dany jest model:

y_{i} = γ + β_{0}x_{i} + β_{1}x_{i−1} + β_{2}x_{i−2} + β_{3}x_{i−3} + β_{4}x_{i−4} + ε_{i}.

• Zakładając, iż parametry rozkładu opóźnień można aproksymować wielomian stopnia trzeciego, wyprowadź postać zmiennych kompozytowych.

• W wyniku estymacji parametrów zmodyfikowanych modelu uzyskano następujące oszacowania:

ŷ_{i} = 10 + \frac{1}{10}z_{0} − \frac{7}{60}z_{1} + \frac{3}{10}z_{2} − \frac{1}{12}z_{3},

gdzie z_{i} zmienne kompozytowe. Wyznacz parametry modelu wyjściowego. Zad. 3 Na podstawie próby o liczebności 21 obserwacji uzyskano następujące oszacowania parametrów (w nawiasach podano odchylenia standardowe):

Ŷ_{i} = 3, 0 + 0, 8Y_{i−1} + 0, 9X_{i}, R^{2} = 0, 99, D − W = 1, 60

oraz σ_{0} = 0, 3, σ_{1} = 0, 2, σ_{2} = 0, 01.

• Oszacuj parametry rozkładu opóźnień Koycka (gdzie jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna X i jej opóźnienia)

• Ile wynosi mnożnik całkowity zmiennej Y względem zmiennej X?

• Czy postąpiono właściwie estymując parametry KMNK? Zad 4. Mając następujący model

Ŷ_{i} = \frac{3L}{1 − 0, 92L + 0, 2L^{2}} X_{i},

gdzie L jest operatorem opóźnień, • zapisz model nie używając operatora opóźnień,

• wyznacz oceny parametrów dla zmiennych X_{i−j}, j = 0, 1, 2, 3. Zad 5. Znajdź średnie opóźnienie oraz mnożniki całkowity i krótkookresowy w poniższym modelu:

Ŷ_{i} = 0, 24 + 0, 70(0, 08X_{i} + 0, 17X_{i−1} + 0, 34X_{i−2} + 0, 28X_{i−3} + 0, 13X_{i−4}).

Zad 6. Korzystając z transformacji Almon dokonano estymacji parametrów modelu:

Y_{i} = γ + ∑_{s=0}^{S} β_{k}V_{i−s} + u_{i},

gdzie Y -zm. objaśniana, V -zm. objaśniająca, S-długość maksymalnego opóźnienia zmiennej V; S = 12; i = 1, 2, ..., 60. Dla wielomianu pierwszego stopnia (P = 1) uzyskano następujące rezultaty:

γ̂ = 82, 9, α̂_{0} = 0, 1630, , α̂_{1} = −0, 0148.

podczas gdy dla P = 2

γ̂ = 141, 1, α̂_{0} = 0, 1360, α̂_{1} = 0, 0005, α̂_{2} = −0, 0014.

• Oblicz b̂eta_{s} oraz mnożniki długookresowe dla obydwu modeli.

• Na podstawie uzyskanych wyników oceń trafność doboru długości opóźnienia oraz stopnia wielomianu w obydwu modelach.

Zad 7. Wyjaśnij dlaczego nie można bezpośrednio oszacować za pomocą KMNK parametrów następującej funkcji Y_{i} = α_{0}X_{i}^{α_{1}} exp(α_{2}X_{i}^{−1} + ε_{i}). Dokonaj odpowiednich przekształceń, aby estymacja taka była możliwa.